Trasformata di Fourier

La trasformata di Fourier è uno degli strumenti più potenti dell’analisi matematica. In fisica, ingegneria, teoria dei segnali, probabilità, PDE, quantistica: ovunque compaia un fenomeno oscillatorio, la trasformata di Fourier è la lente che permette di leggerlo.
Nello spazio di Hilbert \(L^2(\mathbb{R})\) che essa rivela la sua forma più elegante e profonda. La trasformata di Fourier è, in fondo, un cambio di base ortonormale che rende trasparenti gli operatori differenziali e così permette di risolvere PDE, analizzare segnali, comprendere fenomeni fisici e probabilistici.

La trasformata di Fourier di una funzione \(f\in L^1\cap L^2\) è: \[ \hat f(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-2\pi i x\xi}\,dx. \] Le funzioni \(e^{2\pi i x\xi}\) sono onde pure, e formano una base ortonormale generalizzata di \(L^2\). La trasformata di Fourier non fa altro che esprimere \(f\) come combinazione di queste onde: \[ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat f(\xi) e^{2\pi i x\xi}\, d\xi. \] È una decomposizione spettrale: la frequenza \(\xi\) è l’autovalore, l’onda \(e^{2\pi i x\xi}\) è l’autovettore.

Passaggio cruciale è il
Teorema di Plancherel

La trasformata di Fourier si estende in modo unico a un operatore unitario \[ \mathcal{F}: L^2(\mathbb{R}) \to L^2(\mathbb{R}), \] preservando la norma: \[ \|\hat f\|_{L^2} = \|f\|_{L^2}. \]
Vale a dire che la trasformata di Fourier è isometrica, invertibile, unitaria, definita per tutte le funzioni in \(L^2\), anche quando l’integrale di Fourier non converge classicamente. In altre parole: la trasformata di Fourier è un operatore perfettamente ben definito su \(L^2\), anche quando non lo è su \(L^1\).

La derivata è un operatore differenziale: \[ D = \frac{d}{dx}. \] In \(L^2\), la trasformata di Fourier lo diagonalizza: \[ \mathcal{F}(Df)(\xi) = (2\pi i \xi)\hat f(\xi). \] Questo è il cuore della teoria spettrale:

Per questo motivo risolvere PDE diventa semplice, l’operatore di calore, di Schrödinger, il Laplaciano diventano moltiplicazioni in frequenza.

Dunque le proprietà fondamentali della trasformata di Fourier in \(L^2\), alla base dell’analisi dei segnali, della fisica quantistica e delle PDE sono elencabili come nel seguito.

L'esempio seguente mostra un caso emblematico della simmetria profonda della trasformata: la trasformata di Fourier di una gaussiana è ancora una gaussiana.

# dominio x = np.linspace(-10, 10, 2048) dx = x[1] - x[0] # funzione: gaussiana f = np.exp(-x**2) # trasformata numerica (FFT) F = np.fft.fftshift(np.fft.fft(np.fft.ifftshift(f))) * dx xi = np.fft.fftshift(np.fft.fftfreq(len(x), d=dx)) plt.figure(figsize=(10,4)) plt.subplot(1,2,1) plt.plot(x, f) plt.title("f(x) = e^{-x^2}") plt.subplot(1,2,2) plt.plot(xi, np.abs(F)) plt.title("|F(ξ)| (modulo della trasformata)") plt.tight_layout() plt.show()

Con la libreria sympy.
s, t = symbols('s t') fourier_transform(exp(-t**2), t, -s)
\(\sqrt{\pi} e^{- \pi^{2} s^{2}}\)
inverse_fourier_transform(sqrt(pi)*exp(-(pi*s)**2), s, t)
\(e^{- t^2}\)

La trasformata di Fourier in \(L^2\), uno dei ponti più profondi tra matematica pura e applicata, unisce:

Cugine della trasformata di Fourier sono le seguenti

Ognuna nasce per diagonalizzare un certo tipo di operatore, adattarsi a un certo dominio e sfruttare una certa simmetria.
Trasformata Simmetria Operatore diagonalizzato Dominio naturale Applicazioni
Fourier traslazioni derivata \(\mathbb{R}\) segnali, PDE, quantistica
Laplace causalità + traslazioni derivata (causale) \([0,\infty[\) ODE, sistemi, controllo
Mellin scalatura operatore di dilatazione \(]0,\infty[\) analisi asintotica, numeri
Hankel rotazioni operatore di Bessel funzioni radiali PDE radiali, fisica
Ogni trasformata è la risposta naturale a una simmetria e a un operatore autoaggiunto. Tutte e tre:

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