Random Walk: caso infinito
In una passeggiata aleatoria semplice da una posizione \(x\) si può andare solo a \(x-1\) o \(x+1\) con la stessa probabilità \(1/2\) senza poter restare fermo.
La distribuzione di probabilità \(f\) delle posizioni della particella, che possiamo anche dire stato della passeggiata, è una funzione su \(\mathbb{Z}\):
\[
f : \mathbb{Z} \to \mathbb{R}
\]
con \(f(x)\) probabilità che la particella sia in \(x\). Allora \(f\in\ell^2(\mathbb{Z})\) essendo \(\sum_xf(x)=1\lt \infty\).
La base ortonormale \(\{\delta_x\}_{x\in\mathbb{Z}}\) “posizionale” è costituita dalle funzioni
\[
\delta_x(y) =
\begin{cases}
1 & y=x,\\
0 & y\neq x.
\end{cases}
\]
Ad esempio il vettore:
\[
\delta_0=(\ldots,0,0,0,1,0,0,0,\ldots)
\]
è la distribuzione che rappresenta il fatto che la particella è con certezza in \(0\). Si può anche scrivere che \(\delta_x(y) = \delta_0(x-y).\)
Se questa è la distribuzione di probabilità che rappresenta lo stato iniziale, lo stato successivo sarebbe rappresentato da \[(\ldots,0,0,\frac{1}{2},0,\frac{1}{2},0,0,\ldots)\] e poi
\[(\ldots,0,\frac{1}{4},0,\frac{1}{2},0,\frac{1}{4},0,\ldots)\]
e così via.
La passeggiata aleatoria semplice su \(\mathbb{Z}\) può essere dunque rappresentata dalla matrice di transizione:
\[
P_{i,j} =
\begin{cases}
\frac12 & \text{se } j = i+1 \text{ o } j = i-1, \\
0 & \text{altrimenti}.
\end{cases}
\]
ovvero
\[
P =
\begin{pmatrix}
\ddots & \ddots & & & \\
\ddots & 0 & \tfrac12 & 0 & \\
& \tfrac12 & 0 & \tfrac12 & \\
& 0 & \tfrac12 & 0 & \ddots \\
& & & \ddots & \ddots
\end{pmatrix}
\]
una matrice illimitata, tridiagonale, con diagonale principale di 0 e diagonali adiacenti di 1/2
\[P: \ell^2(\mathbb{Z})\longrightarrow \ell^2(\mathbb{Z}).\]
Dopo \(n\) passi a partire dallo stato \(f\) il nuovo stato sarà descritto dalla distribuzione di probabilità \[P^nf.\] Se partiamo dallo stato \(\delta_0\), che descrive la certezza di trovarsi nella posizione \(x=0\), dopo \(n\) passi la distribuzione di probabilità che rappresenta quello stato sarà \[P^n\delta_0.\]
Possiamo pensare di sostituire le posizioni \(x\) con le velocità angolari, o pulsazioni, di rotazioni che possono esprimersi come \(t\longrightarrow e^{-ixt}\). Possiamo considerare cioè la trasformata di Fourier discreta su \(\ell^2(\mathbb{Z})\): \[ \hat{f}(t) = \sum_{x\in\mathbb{Z}} f(x)e^{-ixt} \] che è un isomorfismo unitario tra due spazi di Hilbert diversi: \[ \mathcal{F} : \ell^2(\mathbb{Z}) \longrightarrow L^2([-\pi,\pi]). \] Ad esempio \(\mathcal{F}(\delta_x)(t)= \widehat{\delta_x}(t)= e^{-ixt}\), una rotazione con pulsazione \(x.\) Inoltre se consideriamo \(f(x)=f(-x)\) allora \(\hat{f}(t)=f(0)+2\sum_{x\gt 0}f(x)\cos(xt)\), in particolare la trasformata ha valori reali e è anch'essa una funzione pari.
\(L^2([-\pi,\pi])\) è lo spazio dei modi armonici della passeggiata aleatoria.
La trasformata inversa è: \[ f(x) =\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \hat f(t)e^{ixt}dt. \] Possiamo verificare che \[\delta_0(x) =\int_{-\pi}^{\pi} 1\cdot e^{ixt}dt= \begin{cases}\frac{1}{2\pi} (\pi+\pi)=1 \quad x= 0\\ \frac{1}{2ix\pi}\left( e^{-ix\pi}-e^{ix\pi}\right)=0\quad x\not= 0\end{cases}.\] In \(L^2([-\pi,\pi])\) la matrice infinita \(P\) si “smaterializza” nella funzione \(\cos t\). \[ \widehat{Pf}(t) = \cos t \, \hat{f}(t). \] Infatti \[\sum_x Pf(x)e^{-ixt}= \frac{1}{2}\left(\sum_x f(x-1)e^{-ixt}+\sum_x f(x+1)e^{-ixt} \right)=\] \[= \frac{1}{2}\left(e^{-it}\sum_x f(x-1)e^{-i(x-1)t}+e^{it}\sum_x f(x+1)e^{-i(x+1)t} \right) =\frac{e^{-it}+e^{it}}{2} \sum_x f(x)e^{-ixt}\] Quindi \(P\) in \(\ell^2(\mathbb{Z})\)è tridiagonale mentre \(\widehat P\) in \(L^2([-\pi,\pi])\) è un operatore di moltiplicazione per \(\cos t\).
Inversamente ad esempio \[\mathcal{F}^{-1}(\hat P \delta_0)(x)=\int_{-\pi}^{\pi} \cos t \hat\delta_0(t)e^{ixt}dt= \int_{-\pi}^{\pi} \frac{e^{it}+e^{it}}{2} e^{ixt}dt=\]\[=\frac{1}{2}\left(\int_{-\pi}^{\pi} e^{i(x+1)t}dt+\int_{-\pi}^{\pi} e^{i(x-1)t}dt\right)=\frac{1}{2}\left(\delta_0(x+1)+\delta_0(x-1)\right)=P\delta_0(x).\]
In questo nuovo spazio, l’operatore \(\hat P\) è diagonale nel senso degli operatori di moltiplicazione, la cui “diagonale” è formata dagli autovalori, \[ \lambda(t) = \cos t, \qquad t \in [-\pi,\pi]. \] ed è limitato e autoaggiunto poiché ha autovalori reali. Lo spettro \(σ(\hat P) = [-1,1]\) è l’insieme dei valori assunti da \(\cos t\).
Non ci sono autofunzioni nel senso usuale: \(\hat P \hat f (t)=\lambda \hat f(t)\) implica \((\cos t-λ)\hat f(t)=0\) quasi ovunque, quindi nessuna autofunzione in \(L^2\), cioè spettro puramente continuo.
Se allarghiamo il codominio delle funzioni \(f:\mathbb Z \longrightarrow \mathbb C\) e consideriamo tra queste le funzioni \[e_t(x)=e^{itx},\quad t\in[-\pi,\pi]\] abbiamo
\[Pe_t(x)=\frac{1}{2}\left(e^{it(x+1)}+e^{it(x-1)} \right)= \frac{e^{it}+e^{-it}}{2}e^{itx}=\cos t\; e^{itx}\]
perciò formalmente \(\cos t\) è autovalore associato all'autofunzione \(x\longrightarrow e^{itx}.\)
Considerando \(\{e^{itx}\}_{t\in [-\pi,\pi]}\), si tratta di funzioni indipendenti. Inoltre \[\displaystyle\sum_{x\in\mathbb Z}e^{itx} = 1+\sum_{x\gt0}\left(e^{it}\right)^x+\sum_{x\gt0}\left(e^{-it}\right)^{x}=1+ \frac{e^{it}}{1-e^{it}}+ \frac{e^{-it}}{1-e^{-it}}=\]
\[=1+ \frac{1}{e^{-it}-1}+ \frac{1}{e^{it}-1}=1+\frac{e^{it}+e^{-it}-2}{2-e^{it}-e^{-it}}=0,\]
perciò \(\displaystyle\sum_{x\in\mathbb Z}e^{-it_1x}e^{it_2x} = \sum_{x\in\mathbb Z}e^{i(t_2-t_1)x}=0\) per \(t_1\not=t_2.\) mentre \(\displaystyle\sum_{x\in\mathbb Z}e^{-itx}e^{itx}=\infty.\)
Possiamo dire che \(\langle e^{itx}, e^{it'x} \rangle\) è la delta di Dirac.
Ciò significa che queste funzioni non appartengono a \(\ell^2(\mathbb Z)\) e non possono essere una base ortonormale nel senso Hilbertiano classico. Ė però una base ortonormale continua (generalizzata) cioè ogni \(f\in\ell^2\) si può vedere come "combinazione lineare continua" di elementi di quella base:
\[
f(x) =\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \hat f(t)e^{ixt}dt,
\]
ciò che è proprio la trasformata inversa di Fourier: le "coordinate" di \(f\) formano un continuo nell'intervallo \(-\pi,\pi]\) con valori \(\hat f(t)\).
Così l’azione di \(𝑃\) è:
\[(𝑃𝑓)(𝑥)=\frac{1}{2𝜋}\int_{−𝜋}^{𝜋}\cos t \hat f(t)e^{ixt}dt.\]
Questa è esattamente la decomposizione spettrale:
\[P =\frac{1}{2𝜋}\int_{−𝜋}^{𝜋}\cos t |e_t\rangle \langle e_t| 𝑑t \]
Dove \(|e_t\rangle\) è l’autofunzione generalizzata, \(\langle e_t|\) è il funzionale duale e \(|e_t\rangle\langle e_t|\) è il proiettore generalizzato.
L’evoluzione temporale della passeggiata aleatoria interpretata in \(L^2\) è semplicissima:
\[
\widehat{P^nf}(t) = (\cos t)^n \hat{f}_0(t).
\]
Si tratta di una semplice attenuazione armonica nello spazio delle pulsazioni.
I polinomi di Chebyshev compaiono naturalmente:
\[
(\cos t)^n = T_n(\cos t)
\]
Applicando l’inversa della trasformata di Fourier otterremo la distribuzione reale