Polinomi di Jacobi

I polinomi di Jacobi, indicati con $P_n^{(α,β)}​(x)$, rappresentano la "famiglia reale" dei polinomi ortogonali classici su intervallo limitato.
Se i polinomi di Legendre, Chebyshev e Gegenbauer fossero rami di un albero, i polinomi di Jacobi ne sarebbero il tronco principale. Essi generalizzano tutte le famiglie viste finora, offrendo la massima flessibilità grazie a due parametri liberi, α e β, che permettono di modellare il peso del dominio in modo asimmetrico.

I polinomi di Jacobi sono definiti nell'intervallo $[−1,1]$ e sono ortogonali rispetto alla funzione peso più generale possibile per un polinomio su tale intervallo: $$w(x)=(1−x)α(1+x)β$$ dove $α,β>−1$ sono parametri che determinano quanto "peso" viene dato agli estremi dell'intervallo.

• Se α>β, lo spazio di Hilbert dà più importanza a ciò che accade vicino a x=−1.
• Se α=β, la funzione peso è simmetrica rispetto all'origine (ritornando ai polinomi ultrasferici o di Gegenbauer).

Una formula di derivazione esplicita (di Rodrigues): $$P_n^{(α,β)}​(x)=\frac{(−1)^n}{2^nn!}​(1−x)^{−α}(1+x)^{−β}\frac{d^n}{dx^n}​[(1−x)^{n+α}(1+x)^{n+β}]$$ Risolvono l'equazione del secondo ordine: $$(1−x^2)y''+[β−α−(α+β+2)x]y′+n(n+α+β+1)y=0$$ In ingegneria, questa equazione appare nello studio della diffusione e del trasporto in mezzi dove le proprietà variano linearmente o in modo asimmetrico tra due pareti.
L'importanza dei polinomi di Jacobi risiede nel fatto che, variando α e β, "collassano" in tutte le altre basi che abbiamo studiato:

Valori di $α,β,λ$	Famiglia Risultante	Funzione peso
$α=β=0$	Legendre	$w(x)=1$
$α=β=−1/2$	Chebyshev (1ª specie)	$w(x)=\frac{1}{\sqrt{1−x^2}​}$​
$α=β=1/2$	Chebyshev (2ª specie)	$w(x)=\sqrt{1−x^2}​$
$α=β=λ−1/2$	Gegenbauer	$w(x)=(1−x^2)^{λ−1/2}$

Oltre alla pura bellezza matematica dell'unificazione, i polinomi di Jacobi sono fondamentali in diversi ambiti.

• Metodi Spettrali per PDE
  Quando si risolvono equazioni differenziali alle derivate parziali (come quelle di Navier-Stokes per i fluidi) in domini con geometrie complesse o condizioni al contorno asimmetriche, i polinomi di Jacobi forniscono la base più efficiente per rappresentare la soluzione.
• Meccanica Quantistica
  Appaiono nelle soluzioni esatte dell'equazione di Schrödinger per certi potenziali (come il potenziale di Pöschl-Teller), che descrivono il comportamento di particelle in sistemi confinati.
• Teoria dell'Informazione e Probabilità
  Sono legati alla distribuzione Beta, una delle distribuzioni più importanti in statistica bayesiana. I polinomi di Jacobi aiutano a studiare le proprietà dei momenti e delle trasformate di variabili aleatorie distribuite come Beta.

Con i polinomi di Jacobi, l'identità di Parseval raggiunge la sua massima generalità. Ci dice che, qualunque sia la "distorsione" del nostro spazio (scelta da α e β), esiste sempre una base ortonormale che permette di scomporre una funzione conservandone l'energia totale.
I polinomi di Jacobi sono lo strumento definitivo per chiunque debba operare una "chirurgia" matematica su un intervallo limitato, permettendo di adattare la base alla fisica specifica del bordo.