Funzione Peso
Nella teoria delle basi ortonormali negli spazi funzionali, la funzione peso $w(x)$ è l'elemento che permette di personalizzare la "geometria" dello spazio per adattarla a specifici domini o fenomeni fisici. Introducendola, cambiamo il modo in cui misuriamo l'importanza delle diverse regioni dell'intervallo e, di conseguenza, cambiamo quali funzioni risultano essere ortogonali tra loro.
In uno spazio di Hilbert di funzioni indicato con $L^2(I, w)$ il prodotto interno tra due funzioni $f,g\in L^2$ su un intervallo $I=[a, b]$ è definito come:$$\langle f, g \rangle_w = \int_I f(x) g(x) w(x) \, dx$$ Perché sia valida, la funzione peso $w(x)$ deve essere non negativa su tutto l'intervallo, misurabile, per permettere il calcolo dell'integrale, e a momenti finiti, cioè $\displaystyle\int_I x^n w(x) dx<\infty$.
La funzione peso agisce come una "lente" o un "filtro di importanza".
Esistono tre ragioni principali per il suo utilizzo.
- Se stiamo lavorando su una sfera o un cilindro, il passaggio dalle coordinate cartesiane a quelle polari/sferiche genera naturalmente un fattore (lo Jacobiano) che agisce come funzione peso (es. il fattore $r$ in coordinate polari o $\sin \theta$ in sferiche).
- Su intervalli illimitati come $[0, +\infty)$ o $(-\infty, +\infty)$, molte funzioni non sarebbero integrabili ($\int f^2 = \infty$). Una funzione peso che decade rapidamente (come un'esponenziale) "schiaccia" la funzione all'infinito, rendendo lo spazio finito e trattabile
- In alcuni problemi numerici, è fondamentale che l'approssimazione sia molto precisa vicino ai bordi dell'intervallo. Una funzione peso che tende a infinito ai bordi forza la base ortonormale a dare più "importanza" a quelle zone.
Ogni grande famiglia di polinomi ortogonali è definita univocamente dalla scelta dell'intervallo e della funzione peso. Cambiando $w(x)$, il processo di Gram-Schmidt produce una base completamente diversa.
| Famiglia di Polinomi | Intervallo | Funzione Peso $w(x)$ | Applicazione Tipica |
| Legendre | $[-1, 1]$ | $1$ | Potenziale elettrostatico |
| Chebyshev (1ª sp.) | $[-1, 1]$ | $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | Approssimazione numerica ottimale |
| Gegenbauer | $[-1, 1]$ | $(1-x^2)^{\lambda - 1/2}$ | Simmetrie sferiche in $n$ dimensioni |
| Laguerre | $[0, \infty[$ | $e^{-x}$ | Meccanica quantistica (atomo di idrogeno) |
| Hermite | $]-\infty, \infty[$ | $e^{-x^2}$ | Oscillatore armonico quantistico |
Un aspetto affascinante è che la funzione peso determina dove i polinomi della base avranno i loro zeri.
Per l'identità di ortogonalità, i polinomi devono oscillare attorno allo zero. Se la funzione peso è molto alta in una certa zona, il polinomio sarà costretto a "incrociare" l'asse $x$ più frequentemente in quella zona per bilanciare l'integrale del prodotto interno.
Ad esempio, nei polinomi di Chebyshev, la funzione peso $w(x) = (1-x^2)^{-1/2}$ tende a infinito agli estremi $-1$ e $1$. Questo spinge gli zeri del polinomio verso i bordi, motivo per cui i polinomi di Chebyshev sono eccellenti per evitare il "fenomeno di Runge", un problema nell'analisi numerica dove l'interpolazione polinomiale con nodi equispaziati su un intervallo produce oscillazioni sempre più ampie, specialmente agli estremi, all'aumentare del grado del polinomio, rendendo l'approssimazione inaffidabile per funzioni non polinomiali.
In fisica, $w(x)$ è spesso una densità di massa o una densità di probabilità.
- Se immaginiamo una corda vibrante con densità non uniforme $w(x)$, le sue armoniche naturali (i modi di vibrazione) non saranno semplici seni e coseni, ma saranno funzioni ortonormali rispetto a quella specifica funzione peso $w(x)$.
- Nello studio delle passeggiate aleatorie, la funzione peso è legata alla distribuzione stazionaria o alla geometria del reticolo.