Identià di Parseval
L'Identità di Parseval è la generalizzazione del Teorema di Pitagora fin negli spazi di dimensione infinita.
Esprime il fatto che la "lunghezza", o l'energia, di un elemento dello spazio non cambia sia che lo misuriamo nella sua forma originale sia che lo analizziamo attraverso le sue proiezioni su una base ortonormale.
Nel piano euclideo, il Teorema di Pitagora permette di esprimere il quadrato della lunghezza di un vettore $\mathbf{v} = (a, b)$ come somma dei quadrati delle proiezioni come $a^2 + b^2$. Se passiamo a una base ortonormale $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n\}$ in $\mathbb{R}^n$, l'identità diventa $$\|\mathbf{v}\|^2 = \sum_{i=1}^{n} |\langle \mathbf{v}, \mathbf{e}_i \rangle|^2.$$
Parseval ha esteso questo concetto agli spazi funzionali di Hilbert.
Ad esempio se una funzione $f(x)$ è espressa tramite la sua serie di Fourier
$$f(x) \sim a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$$
l'identità di Parseval stabilisce che il valore medio del quadrato della funzione (l'energia totale) è uguale alla somma dei quadrati dei suoi coefficienti di Fourier:
$$\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |f(x)|^2 dx = a_0^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2)$$
L'identità di Parseval ha implicazioni pratiche profonde.
- In acustica o elettromagnetismo, l'integrale del quadrato della funzione rappresenta l'energia totale del segnale nel tempo mentre i coefficienti di Fourier rappresentano l'energia distribuita nelle varie frequenze. Parseval ci dice che l'energia del segnale acustico nel tempo è esattamente uguale alla somma dell'energia di tutte le note, ovvero di tutte le frequenza, che compongono quel suono.
- Se decidiamo di approssimare una funzione usando solo i primi N termini della serie, Parseval ci permette di calcolare esattamente quanta "energia", o informazione, stiamo perdendo, semplicemente guardando i coefficienti che abbiamo scartato nel troncamento.
- In meccanica quantistica, l'identità di Parseval garantisce che la probabilità totale rimanga 1 (normalizzazione) sia che lavoriamo nello spazio delle posizioni, sia che lavoriamo nello spazio dei momenti.