Preambolo geometrico

Ė noto che si può stabilire una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti di una retta in cui siano fissati un punto $O$ e un altro punto $U.$ Ad ogni punto $P$ della retta possiamo far corrispondere il numero $x\in \mathbb R$ che esprime il rapporto tra i due segmenti orientati $\overrightarrow{OP}$ e $\overrightarrow{OU}$; viceversa ad ogni numero $x\in \mathbb R$ faremo corrispondere il punto $P$ tale che $\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OU}$. Potremmo anche scrivere $P = xU$ e chiamare $x$ coordinata di $P$ sulla retta fissati i punti $O$ e $U$.

Se consideriamo il piano è analogamente possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i suoi punti e $ \mathbb R^2$ se fissiamo preliminarmente un punto $O$, un altro punto $U$ e un terzo punto $V$ non appartenente alla retta $OU$. Infatti per ogni punto $P$ esiste un unico parallelogramma $OU_PPV_P$ che ha $U_P\in OU$ e $V_P\in OV$. Possiamo chiamare $U_P$ e $V_P$ proiezioni oblique di $P$ in base a $U,V$.

Con ciò, poiché possiamo porre $U_P=xU$ e $V_P=yV$, resta stabilita una corrispondenza biunivoca tra i punti $P$ e le coppie ordinate $(x,y)\in\mathbb R^2$. Possiamo esprimere il fatto parlando di un sistema cartesiano di assi $OU$ e $OV$ dove i segmenti $OU$ e $OV$ sono unitari su ciascun asse.

Dati due punti $P,Q$ possiamo anche definire come loro somma $P+Q$ il punto $R$ tale che $OPRQ$ è un parallelogramma. Così possiamo scrivere $$P=U_P+V_P=xU+yV.$$ Constateremo che $$P=xU+yV,\;Q=x'U+y'V \;\implies \; P+Q=(x+x')U+(y+ y')V.$$

Se $\lambda \in \mathbb R$ ossiamo definire il punto $\lambda P$ come quel punto $Q\in OP$ tale che $\frac{\overrightarrow{OQ}}{\overrightarrow{OP}}=\lambda$. Constateremo che $$P=xU+yV\;\implies \; \lambda P=(\lambda x)U+(\lambda y)V.$$

Se però fissiamo un segmento unitario $OI$ e diamo per scontato il concetto di lunghezza di un segmento $PQ$ e la sua misura $\overline{PQ}$ come rapporto $\frac{PQ}{OI}$, allora le coordinate $x_P, y_P$ di un punto $P$ saranno tali che $x=\frac{x_P}{\overline{OU}}, y=\frac{y_P}{\overline{OV}}.$

Possiamo introdurre un altro tipo di operazione tra due punti $P,Q$, il loro prodotto scalare o prodotto interno che indicheremo $\langle P,Q\rangle$ il cui risultato è l'area del rettangolo che ha lati congruenti con $OQ_\perp$ e $OP$, dove $Q_\perp$ è la proiezione ortogonale di $Q$ sulla retta $OP$, area presa con segno negativo se $Q_\perp$ non appartiene alla semiretta $OP$.
Ovviamente

• $\langle P,Q\rangle = \langle Q,P\rangle,$
• $\langle -P, Q\rangle=-\langle P, Q\rangle,$
• $\langle P,P\rangle$ è l'area del quadrato di lato $OP.$

Possiamo anche vedere che $\langle {P} , {P}\rangle= \langle {Q} , {P}\rangle+\langle {P-Q} , {P}\rangle$ ovvero che l'area del quadrato costruito su $OP$ è somma delle due parti in cui tale quadrato è diviso dalla perpendicolare da $Q$ a $OP$ oppure somma algebrica delle aree con segno di due rettangoli come risulta dalla figura seguente muovendo opportunamente $Q$.
Allora $$\begin{cases} \langle P, P\rangle=\langle Q, P\rangle+\langle P-Q, P\rangle \\ \langle Q, Q\rangle=\langle P, Q\rangle+\langle Q-P, Q\rangle \\ \langle P-Q, P-Q\rangle=\langle P, P-Q\rangle+\langle -Q, P-Q\rangle \end{cases} \implies \langle P, P\rangle+ \langle Q, Q\rangle=2\langle Q, P\rangle+\langle P-Q, P-Q\rangle.$$

Possiamo quindi definire il prodotto interno anche come \[\langle P, Q\rangle=\frac{\langle {P} , {P}\rangle +\langle {Q} , {Q}\rangle -\langle {P-Q} , {P-Q}\rangle }{2}\] ovvero, indicando con $\|P\|$ la norma di un punto $\|P\|= \sqrt{\langle {P} , {P}\rangle},$ \[\langle P, Q\rangle=\frac{\|P\|^2+\|Q\|^2-\|P-Q\|^2}{2}.\] Volendo rappresentare i punti $\langle P, P\rangle, \langle Q, P\rangle$ sulla retta $OP$ fissato il punto unità, utilizzando la notazione $-iP$ per rappresentare il punto corrispondente a $P$ in una rotazione di centro $O$ e ampiezza $-\frac{\pi}{2}$ si può vedere la figura seguente.
Si osserva inoltre che

• $\langle P, Q\rangle=0 \iff P\bot Q$ (Teorema di Pitagora);
• $\cos P\hat O Q = \frac{\langle P, Q\rangle}{\|P\|\|Q\|}$ (Teorema di Carnot del coseno);
• se $Q_\perp$ è la proiezione ortogonale di $Q$ su $OP$ allora $\|OQ_\perp\|=\frac{\langle P, Q\rangle}{\|P\|}$ e dunque $Q_\perp=\frac{\langle P, Q\rangle}{\|P\|^2}P;$
• $\langle P,P\rangle\frac{P}{\|P\|}=\sqrt{\langle P,P\rangle}P$ è il punto corrispondente al punto unità sulla retta $OP$ nell'inversione circolare rispetto alla circonferenza di centro $O$ per $P$; .

Poiché l'angolo di vertice $O$ e lati $O\lambda P$ e $OQ$ è lo stesso angolo $P\hat O Q $ per $\lambda \gt 0$ mentre è il suo supplementare per $\lambda \lt 0$, poiché inoltre il punto proiezione di $P+Q$ su una retta $OR$ è somma delle proiezioni di $P$ e $Q$ sulla stessa retta, si ha:

• $\frac{\langle \lambda P, Q\rangle}{\|\lambda P\|\|Q\|}=\frac{\langle P, Q\rangle}{\|P\|\|Q\|} \Rightarrow \langle \lambda P, Q\rangle=\lambda\langle P, Q\rangle$;
• $\frac{\langle P+Q, R\rangle}{\|R\|^2}=\frac{\langle P, R\rangle}{\|R\|^2}+\frac{\langle Q, R\rangle}{\|R\|^2} \Rightarrow \langle P+Q, R\rangle=\langle P, R\rangle+\langle Q, R\rangle$.

da cui in sintesi ricaviamo la proprietà di linearità del prodotto interno $$\langle \lambda P+\mu Q, R\rangle=\lambda\langle P, R\rangle+\mu\langle Q, R\rangle.$$ Vale anche $$P=xU+yV,\;Q=x'U+y'V \;\implies \;\langle P, Q\rangle=\langle x U+yV, x'U+y'V\rangle=$$ $$=x\langle U, x'U+y'V\rangle+y\langle V, x'U+y'V\rangle=$$ $$=xx'\langle U, U\rangle+(xy'+x'y)\langle U, V\rangle+yy'\langle V, V\rangle.$$ Si osservi che se $P=xU+yV$ allora $x=\frac{\langle P, U\rangle}{\|U\|^2}-y\frac{\langle V, U\rangle}{\|U\|^2}$, ciò che equivale a $\langle xU+yV, U\rangle=x\langle U, U\rangle+y\langle V, U\rangle.$
Le coordinate $x, y$ di $P$ si possono determinare risolvendo il sistema \[\begin{cases} \langle P, U\rangle=x\langle U, U\rangle+y\langle V, U\rangle \\ \langle P, V\rangle=x\langle U, V\rangle+y\langle V, V\rangle\end{cases}\] da cui, se $x_{\perp}U,y_{\perp}V$ sono le proiezioni ortogonali di $P$ su $OU$ e su $OV$ \[\begin{cases} x = \frac{\langle P, U\rangle\langle V, V\rangle-\langle P, V\rangle\langle V, U\rangle}{\langle U, U\rangle\langle V, V\rangle-\langle V, U\rangle^2}=\frac{x_\perp -y_\perp v_\perp}{1-u_\perp v_\perp} \\ y= \frac{\langle P, V\rangle\langle U, U\rangle-\langle P, U\rangle\langle U, V\rangle}{\langle U, U\rangle\langle V, V\rangle-\langle V, U\rangle^2}=\frac{y_\perp -x_\perp u_\perp}{1-u_\perp v_\perp}\end{cases}\] Nel caso in cui $OV$ e $OU$ siano ortogonali e di lunghezza unitaria, si avrà che $x=\langle P, U\rangle, \;y=\langle P, V\rangle$. In questo caso inoltre $P=xU+yV, \; Q=x'U+y'V \implies \langle P, Q\rangle=xx'+yy'$.
Si osservi che il punto $V'=V-\frac{\langle V, U\rangle}{\|U\|^2}U$ forma con $O$ un segmento ortogonale a $OU$.

Se consideriamo una nuova base $U',V'$ e $x,y$ sono le coordinate di $P$ nella base $U,V$ si avrà \[\begin{cases} \langle P, U'\rangle=x\langle U, U'\rangle+y\langle V, U'\rangle \\ \langle P, V'\rangle=x\langle U, V'\rangle+y\langle V, V'\rangle\end{cases}\] Se indichiamo $x',y'$ le coordinate di $P$ nella nuova base, $x_{U'},y_{U'}$ e $x_{V'},y_{V'}$ le coordinate di $U'$ e $V'$ nella vecchia base, allora \[\langle P, U'\rangle=x'\langle U', U'\rangle+y'\langle V', U'\rangle=\] \[=x'\left(x_{U'}\langle U, U'\rangle+y_{U'}\langle V, U'\rangle \right)+y'\left(x_{V'}\langle U, U'\rangle+y_{V'}\langle V, U'\rangle \right)=\] \[=\left(x'x_{U'}+ y'x_{V'}\right)\langle U, U'\rangle +\left(x'y_{U'}+ y'y_{V'}\right)\langle V, U'\rangle\] e quindi \[\begin{cases} x=x'x_{U'}+ y'x_{V'} \\ y=x'y_{U'}+ y'y_{V'}\end{cases}\] o anche \[\begin{bmatrix} x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_{U'}&x_{V'} \\ y_{U'}&y_{V'}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x'\\y'\end{bmatrix}\]
Del resto vale anche \[\begin{cases} \langle P, U'\rangle=u_U\langle P, U\rangle+u_V\langle P,V\rangle \\ \langle P, V'\rangle=v_U\langle P,U\rangle+v_V\langle P,V\rangle\end{cases}\] Nel caso $U,V$ sia ortonormale \[\begin{cases} \langle P, U'\rangle=\langle P, U\rangle\langle U, U'\rangle+\langle P, V\rangle\langle V, U'\rangle \\ \langle P, V'\rangle=\langle P, U\rangle\langle U, V'\rangle+\langle P, V'\rangle\langle V, V'\rangle\end{cases}\] Nel caso che anche $U',V'$ sia ortonormale \[\begin{cases} x'=x\langle U, U'\rangle+y\langle V, U'\rangle \\ y'=x\langle U, V'\rangle+y\langle V, V'\rangle\end{cases}\]

Nelle tre dimensioni, fissato un punto $O$, il segmento unitario $OI$, il piano individuato dai punti $U$ e $V$ e un altro punto $W$ non appartenente a quel piano, possiamo creare una corrispondenza biunivoca tra i punti dello spazio e $\mathbb R^3$ in modo che $P=xU+yV+zW$ osservando che possiamo dire che i punti $U, V$ e $W$, che chiameremo basi, generano tutto lo spazio sulla base di combinazioni lineari. Possiamo anche definire analogamente il prodotto interno tra due punti dello spazio.
Le coordinate $x, y, z$ di $P$ si possono determinare risolvendo il sistema \[\begin{cases} \langle P, U\rangle=x\langle U, U\rangle+y\langle V, U\rangle+z\langle W, V\rangle \\ \langle P, V\rangle=x\langle U, V\rangle+y\langle V, V\rangle+z\langle W, V\rangle \\ \langle P, W\rangle=x\langle U, W\rangle+y\langle V, W\rangle+z\langle W, W\rangle\end{cases}\] Nel caso in cui la base sia di punti che formano con $O$ segmenti a due a due ortogonali e per di più di lunghezza unitaria avremo $$P=\langle P, U\rangle U+\langle P, V\rangle V+\langle P, W\rangle W.$$ Se poi $V'=V-\frac{\langle V, U\rangle}{\|U\|^2}U$ forma con $O$ un segmento ortogonale a $OU$, il punto $W'=W-\frac{\langle W, V'\rangle}{\|V'\|^2}V'$ forma con $O$ un segmento ortogonale a $OV'$ e quindi $W''=W'-\frac{\langle W', U\rangle}{\|U\|^2}U$ forma con $O$ un segmento ortogonale anche a $U$.