Ortogonalità e ortonormalità

Una base $\mathcal{B} = \{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n,\dots\}$ è ortogonale quando \[\langle \mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j \rangle =0, \quad \forall i,j,\;\;i\not=j \]

Una base ortogonale $\mathcal{B} = \{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n,\dots\}$ è ortonormale quando inoltre \[\langle \mathbf{e}_n, \mathbf{e}_n \rangle =1, \quad \forall n \] Quando $\mathcal{B}$ è ortonormale $$ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle= \sum_{n} \langle \mathbf{u}, \mathbf{e}_n \rangle \langle \mathbf{v}, \mathbf{e}_n \rangle$$

x, n = symbols('x n')

f = sin(n*pi*x)

simplify(integrate(f*f, (x, -1, 1))))

$\begin{cases} 1 - \frac{\sin{\left(2 \pi n \right)}}{2 \pi n} & \text{for}\: \left(n > -\infty \vee n > 0\right) \wedge \left(n > -\infty \vee n < \infty\right) \wedge \left(n > 0 \vee n < 0\right) \wedge \left(n < 0 \vee n < \infty\right) \\0 & \text{for}\: n \geq 0 \end{cases}$

x, n, m = symbols('x n m')

f = sin(n*pi*x)
g = sin(m*pi*x)

simplify(integrate(f*g, (x, -1, 1)))

$\begin{cases} 0 & \text{for}\: m = 0 \wedge n = 0 \\-1 + \frac{\sin{\left(2 \pi n \right)}}{2 \pi n} & \text{for}\: \left(m = 0 \wedge n = 0\right) \vee m = - n \\1 - \frac{\sin{\left(2 \pi n \right)}}{2 \pi n} & \text{for}\: \left(m = 0 \wedge n = 0\right) \vee m = n \\\frac{2 \left(- m \sin{\left(\pi n \right)} \cos{\left(\pi m \right)} + n \sin{\left(\pi m \right)} \cos{\left(\pi n \right)}\right)}{\pi \left(m^{2} - n^{2}\right)} & \text{otherwise} \end{cases}$

Se $\mathcal{B}$ è base ortonormale in uno spazio vettoriale finito di dimensione $n$, a una trasformazione lineare $T$ resterà associata la matrice $\langle T( \mathbf{e}_i), \mathbf{e}_j\rangle$.

Una matrice reale $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ manda una base ortonormale in un’altra base ortonormale se e solo se è ortogonale, cioè: \[ A^T A = I. \] In questo caso:

le colonne di $A$ formano una base ortonormale,
$A$ preserva il prodotto scalare: \[ \langle Ax, Ay\rangle = \langle x, y\rangle, \]
$A$ preserva le lunghezze: \[ \|Ax\| = \|x\|. \]
vale sempre \[ \det(A) = \pm 1 \] con
- $\det(A) = +1$ se la trasformazione è una rotazione generalizzata, appartiene al gruppo ortogonale speciale ($SO(n)$),
- $\det(A) = -1$ se è una rotazione + una riflessione, appartiene al gruppo ortogonale di grado $n$, indicato con $O(n)$, escluso $SO(n)$.

Ogni trasformazione lineare che manda una base ortonormale in un’altra è una composizione di rotazioni e simmetrie rispetto a iperpiani. Più precisamente ogni matrice ortogonale:

in $\mathbb{R}^2$ è una rotazione oppure una riflessione,
in $\mathbb{R}^3$ è una rotazione attorno a un asse oppure una rotazione seguita da una riflessione rispetto a un piano,
in $\mathbb{R}^n$ è una composizione di rotazioni in piani bidimensionali, riflessioni rispetto a iperpiani.

Questa decomposizione è formalizzata dal

Teorema di Cartan–Dieudonné
Ogni isometria lineare dello spazio euclideo $ \mathbb{R}^n $ è una composizione di al più $n$ riflessioni.

La grande potenza delle basi ortonormali emerge negli spazi a dimensione infinita, come gli Spazi di Hilbert dove gli elementi sono funzioni. In questo contesto, non stiamo più cercando di localizzare un punto nello spazio, ma di decomporre una funzione come un segnale audio in una somma di funzioni più semplici.

In uno spazio di Hilbert $\mathcal H$, una trasformazione lineare $T:\mathcal H \to \mathcal H$ è ortogonale (o meglio: unitaria reale) se: \[ \langle Tf, Tg \rangle = \langle f, g \rangle \quad \forall f,g \in \mathcal H \] vale a dire \[ T^* T = I. \] Quindi preserva il prodotto scalare e la norma, inoltre manda basi ortonormali in basi ortonormali. Il teorema di Cartan–Dieudonné si generalizza: ogni isometria è limite (forte) di composizioni di riflessioni.
Vediamo alcuni esempi.

La Trasformata di Fourier è unitaria su $L^2(\mathbb{R})$. Geometricamente: cambia base da $\{e^{inx},\; n\in\mathbb Z\}$ a $\{\delta(\omega-n),\;n\in\mathbb Z\}$, base ortonormale generalizzata nello spazio delle distribuzioni, dove $\delta$ è il deta di Dirac. È una “rotazione infinita-dimensionale”.
La Trasformata di Hilbert \[𝐻𝑓(𝑥)=\frac{1}{𝜋}p.v.\int_𝑅\frac{𝑓(𝑡)}{𝑥−𝑡}dt\] dove “p.v.” indica l’integrale nel senso del valore principale di Cauchy, è unitaria su $L^2$ (a meno di un fattore di fase) e \[𝐻(\cos 𝑛𝑥)=\sin 𝑛𝑥,\quad 𝐻(\sin 𝑛𝑥)=-\cos 𝑛𝑥\] Quindi su ogni piano generato da $\{\cos 𝑛𝑥,\sin 𝑛𝑥\}$ agisce come una rotazione di 90°.
Lo Shift (traslazione) \[ (T_\tau f)(x) = f(x-\tau). \] È ortogonale perché preserva l’energia $L^2$ e geometricamente è una rotazione nella base di Fourier.
La Riflessione \[ (Rf)(x) = f(-x). \] È una vera riflessione rispetto al sottospazio delle funzioni pari.
La Moltiplicazione per una funzione di modulo unitario \[ (M_\phi f)(x) = \phi(x) f(x), \qquad |\phi(x)| = 1. \] È unitaria e geometricamente si tratta di rotazioni punto per punto.

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