Proiezioni

In una base qualunque finita $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n\}$ di uno spazio vettoriale $V$, trovare le "componenti" $x_1,x_2,\dots,x_n$ di un vettore $\mathbf{v}$, cioè i valori numerici tali che $\displaystyle\mathbf{v}=\sum_{k=1}^nx_k\mathbf{e}_k$, richiede la risoluzione di un sistema di equazioni: \[ \langle\mathbf{v},\mathbf{e}_i\rangle=\sum_{k=1}^nx_k\langle\mathbf{e}_k, \mathbf{e}_i\rangle, \;\; \; i=1,2,\dots,n.\] Queste componenti, le coordinate rispetto a quella base, sono le "proiezioni oblique" del vettore lungo la direzione indicata dall'elemento della base. Ad esempio per $n=2$ possiamo immaginare $x_1\mathbf{e}_1$ come l'ombra che quel vettore getta sull'asse che ha direzione $\mathbf{e}_1$ quando è illuminato da una sorgente luminosa parallela alla direzione di $\mathbf{e}_2$.

Una tale proiezione obliqua è un esempio particolare di trasformazione lineare $T_i$ per cui $T_i(\mathbf{e}_j)=\begin{cases}\mathbf{0} & j\not= i\\ \mathbf{e}_i &j=i\end{cases}.$
Quando $\{\mathbf{e}_{i_1}, \mathbf{e}_{i_2},\dots,\mathbf{e}_{i_m}\}$ con $m\lt n$ sono un sottinsieme della base, la trasformazione lineare $\displaystyle T_W(\mathbf{v})=\sum_{k=1}^m x_{i_k}\mathbf{e}_{i_k}$ è la proiezione di $\mathbf{v}$ nel sottospazio $W\subseteq V$ generato da $\{\mathbf{e}_{i_1}, \mathbf{e}_{i_2},\dots,\mathbf{e}_{i_m}\}$ i cui elementi sono tutti e soli i vettori combinazione lineare di quel sottinsieme della base.

In una base qualsiasi la proiezione obliqua di un vettore su una direzione di base "risente" delle altre direzioni di base. Invece in una base ortonormale $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n\}$ la proiezione di $\mathbf{v}$ su una direzione qualsiasi di base è l'"ombra" proiettata da una sorgente perpendicolare a quella direzione, quindi non dipende da nient'altro. In questo caso la matrice $(\langle\mathbf{e}_j, \mathbf{e}_i\rangle)$ è la matrice identità e quindi, senza dover risolvere alcun sistema, si ottiene: $$x_i = \langle \mathbf{v}, \mathbf{e}_i \rangle.$$ Perciò quando la base è ortonormale \[\mathbf{v}=\sum_{k=1}^n \langle\mathbf{v},\mathbf{e}_k\rangle\mathbf{e}_k\] mentre \[\sum_{k=1}^m \langle\mathbf{v},\mathbf{e}_{i_k}\rangle\mathbf{e}_{i_k}\] è la proiezione di $\mathbf{v}$ nel sottospazio di $V$ generato da $\{\mathbf{e}_{i_1}, \mathbf{e}_{i_2},\dots,\mathbf{e}_{i_m}\}.$
Poter "isolare" una singola componente senza influenzare le altre è il principio alla base ad esempio della compressione dati: in un file MP3, il software scompone il suono in una base ortogonale, identifica le componenti meno udibili dall'orecchio umano e le elimina, senza distorcere le frequenze fondamentali che rimangono indipendenti.

Quando passiamo dai vettori nel piano o nello spazio alle funzioni come elementi negli spazi di Hilbert, la proiezione assume un significato ancora più profondo: diventa un filtro.
Se vogliamo sapere quanta parte di una funzione $f(x)$ è composta da una specifica frequenza, ad esempio un'onda sinusoidale $\sin(nx)$, "proiettiamo" $f(x)$ su quella frequenza usando l'integrale $$c_n = \int_a^b f(x) \sin(nx) dx$$