Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali

Le equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE), modelli di fenomeni continui e complessi che vanno dalla diffusione del calore alla dinamica dei fluidi, dall’elettromagnetismo alla meccanica quantistica, diventano meglio trattabili se proiettate su basi ortonormali di uno spazio di Hilbert. Questo approccio trasforma problemi differenziali in problemi algebrici, spesso diagonalizzando operatori difficili e rendendo esplicite le soluzioni.

Molte PDE possono essere formulate come equazioni astratte del tipo: \[ Lu = f \] dove:

\(L\) è un operatore lineare,
\(u\) è la funzione incognita,
\(f\) è un termine noto,
il dominio è uno spazio di Hilbert come \(L^2(\Omega).\)

Per esempio:

equazione del calore: \(u_t = \Delta u\), con \(L=\frac{∂}{∂t}−\frac{∂^2}{∂x^2}\),
equazione delle onde: \(u_{tt} = \Delta u\), con \(L=\frac{∂^2}{∂^2t}−\frac{∂^2}{∂x^2}\),
equazione di Schrödinger: \(i u_t = -\Delta u + V u\), con \(L=i\frac{∂}{∂t}+\frac{∂^2}{∂x^2}-V\).

In tutti questi casi, la scelta di una base ortonormale di \(\mathcal H\) permette di espandere \(u\) e \(f\) in serie e di trasformare la PDE in un sistema di equazioni ordinarie o algebriche.
Infatti se \(\{ \phi_n \}_{n\in\mathbb N}\) è una base ortonormale di \(\mathcal H\): \[ u(x) = \sum_{n=1}^\infty c_n \phi_n(x), \qquad c_n = \langle u, \phi_n \rangle \] \[ f(x) = \sum_{n=1}^\infty f_n \phi_n(x), \qquad f_n = \langle f, \phi_n \rangle. \] da cui \[ \sum_{n=1}^\infty c_n L(\phi_n)(x)= \sum_{n=1}^\infty f_n \phi_n(x). \] Il caso ideale è quando la base ortonormale è costituita dalle autofunzioni dell’operatore \(L\): \[ L \phi_n = \lambda_n \phi_n, \] allora la PDE si riduce a un sistema di equazioni decoupled: \[ \lambda_n c_n = f_n. \] Questo è il cuore del metodo di Fourier e della teoria spettrale degli operatori ellittici.

Se consideriamo l'equazione del calore nel caso unidimensionale con condizioni di Dirichlet \[ u_t = u_{xx}, \qquad x \in [0,\pi], \quad u(0,t)=u(\pi,t)=0 \] le autofunzioni del Laplaciano \(Δ\) e i relativi autovalori sono in questo caso: \[ \phi''(x)=\lambda\phi(x) \implies \phi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sin(nx), \qquad \lambda_n = -n^2. \] Espandiamo: \[ u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty c_n(t) \phi_n(x). \] Sostituendo nella PDE: \[ \sum_{n=1}^\infty c_n'(t) \phi_n(x)= \sum_{n=1}^\infty c_n(t) \lambda_n\phi_n(x) \implies c_n'(t) = -n^2 c_n(t). \] La PDE, grazie alla base ortonormale di autofunzioni, si è ridotta a una famiglia di equazioni differenziali ordinarie (ODE) indipendenti.
Soluzione: \[ c_n(t) = c_n(0) e^{-n^2 t}. \] Quindi: \[ u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty c_n(0) e^{-n^2 t} \phi_n(x). \] Nel seguito la matrice tridiagonale discretizzazione standard del Laplaciano 1D che incorpora le condizioni di Dirichlet eliminando i valori ai bordi, nasce direttamente dalla formula alle differenze finite centrali, che coinvolge solo il punto centrale e i sue due vicini, ma va scalata di \(\frac{1}{h^2}\) dove \(h\) è il passo.

# Parametri
N = 6          # numero di punti interni
L = pi      # lunghezza del dominio
h = L/(N+1)    # passo

# Matrice del Laplaciano 1D con Dirichlet
L1D = zeros(N)
for i in range(N):
    L1D[i, i] = 2
    if i > 0:
        L1D[i, i-1] = -1
    if i < N-1:
        L1D[i, i+1] = -1

L1D = L1D / h**2
L1D

\(\left[\begin{matrix}\frac{98}{\pi^{2}} & - \frac{49}{\pi^{2}} & 0 & 0 & 0 & 0\\- \frac{49}{\pi^{2}} & \frac{98}{\pi^{2}} & - \frac{49}{\pi^{2}} & 0 & 0 & 0\\0 & - \frac{49}{\pi^{2}} & \frac{98}{\pi^{2}} & - \frac{49}{\pi^{2}} & 0 & 0\\0 & 0 & - \frac{49}{\pi^{2}} & \frac{98}{\pi^{2}} & - \frac{49}{\pi^{2}} & 0\\0 & 0 & 0 & - \frac{49}{\pi^{2}} & \frac{98}{\pi^{2}} & - \frac{49}{\pi^{2}}\\0 & 0 & 0 & 0 & - \frac{49}{\pi^{2}} & \frac{98}{\pi^{2}}\end{matrix}\right]\)

# Autovalori e autovettori
eigen_results = L1D.eigenvects()
for val, mult, vecs in eigen_results:
    print(val.evalf())

71995972441118 - 1.02668375468587e-24*I
983327249113625 + 5.13341877342934e-25*I
1204030188479 - 2.46404101124608e-23*I
138992269487 + 1.31415520599791e-22*I
8756247447846 + 6.57077602998955e-23*I
73854897505026 + 5.13341877342934e-25*I

Se consideriamo l'equazione delle onde \[ u_{tt} = u_{xx}, \] la stessa base produce: \[ c_n''(t) = -n^2 c_n(t). \] Ancora una volta, la PDE si separa in infiniti problemi scalari, con soluzioni oscillanti: \[ c_n(t) = A_n \cos(nt) + B_n \sin(nt). \]

Un caso paradigmatico in meccanica quantistica è l’equazione di Schrödinger: \[ i u_t = -\Delta u + V u \] dove l’operatore di Schrödinger \[ H = -\Delta + V \] è autoaggiunto e ammette una base ortonormale di autofunzioni \(\phi_n\) con autovalori \(\lambda_n\).
Come nel caso dell'equazione del calore, la soluzione generale è: \[ u(x,t) = \sum_{n} c_n(0) e^{-i\lambda_n t} \phi_n(x). \] Per determinare autovalori e autovettori dell’operatore di Hamilton \(H\) in un modo elegante e generale si sceglie una base ortonormale \(\{e_n\}\) di \(L^2\). Allora l’operatore \(H\) è rappresentato dalla matrice infinita: \[ H_{mn} = \langle e_m, H e_n \rangle. \] Il problema agli autovalori diventa: \[ \sum_n H_{mn} c_n = E c_m \] cioè: \[ Hc = Ec. \] In pratica:

scelta una base ortonormale (Fourier, wavelet, Hermite, ecc.),
si tronca la matrice a dimensione \(N\),
si diagonalizza la matrice \(N\times N\),
per ottenere così approssimazioni degli autovalori e autovettori.

Le basi ortonormali permettono quindi di:

diagonalizzare operatori differenziali, in particolare gli operatori ellittici simmetrici hanno spettro discreto e basi di autofunzioni;
trasformare PDE in ODE;
garantire convergenza e stabilità grazie alla completezza della base;
interpretare fisicamente le soluzioni, considerando che ogni modo \(\phi_n\) è un “modo normale” del sistema.

Sono fondamentali in:

metodi di Fourier e trasformate integrali,
metodi spettrali numerici,
decomposizioni wavelet,
analisi degli operatori ellittici,
quantizzazione canonica,
teoria delle vibrazioni e dei modi normali,
simulazioni numeriche ad alta precisione.

Le basi ortonormali sono dunque il linguaggio naturale con cui gli operatori differenziali rivelano la loro struttura consentendo di trasformare molte PDE — anche complesse — in problemi lineari gestibili, spesso completamente risolubili.
In un certo senso, applicare una base ortonormale a una PDE significa mettere ordine nel caos, decomponendo un fenomeno continuo in una somma di modi elementari perfettamente comprensibili.

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