Polinomi di Legendre

I polinomi introdotti nel XVIII secolo da Adrien-Marie Legendre durante i suoi studi sul potenziale gravitazionale dei pianeti, indicati con $P_n(x)$, rappresentano la famiglia più celebre di polinomi ortogonali. Costituiscono la base ortonormale naturale per lo spazio $L^2$ delle funzioni a quadrato integrabile sull'intervallo chiuso e limitato $[-1, 1]$ con funzione peso unitaria $w(x)=1$

Esistono tre modi principali, tra loro equivalenti, ciascuno è utile in un contesto diverso, per definire i polinomi di Legendre.

• Nell'Equazione Differenziale di Legendre i $P_n(x)$ sono le soluzioni (regolari in $x= \pm 1$) dell'equazione differenziale lineare del secondo ordine $$(1-x^2) \frac{d^2y}{dx^2} - 2x \frac{dy}{dx} + n(n+1)y = 0$$In fisica, questa equazione appare ogni volta che si tenta di risolvere l'equazione di Laplace $\nabla^2 V = 0$ o quella di Schrödinger in coordinate sferiche utilizzando il metodo della separazione delle variabili.
• La Formula di Rodrigues fornisce un modo esplicito per calcolare l' $n$-esimo polinomio tramite derivazione:$$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^2 - 1)^n$$
• La Funzione Generatrice, fondamentale per lo studio dei potenziali (elettrico o gravitazionale) $$\frac{1}{\sqrt{1 - 2xt + t^2}} = \sum_{n=0}^{\infty} P_n(x) t^n$$ fornisce i polinomi di Legendre come coefficienti dello sviluppo in serie di una funzione che rappresenta il reciproco della distanza tra due punti nello spazio.
• Una costruzione alternativa dei polinomi di Legendre consiste nell'effettuare il procedimento di Gram-Schmidt per la ortogonalizzazione della successione polinomiale ${\displaystyle \left\{1,x,x^{2},\ldots \right\}}$ e poi moltiplicare i nuovi polinomi ottenuti per ${\displaystyle (2n)! \over {2^{n}(n!)^{2}}}$ con ${\displaystyle n=0,1,\ldots }$ che indica l'n-esimo polinomio di Legendre.

Caratteristica distintiva dei polinomi di Legendre è la loro ortogonalità rispetto al prodotto interno standard su $[-1, 1]$:$$\int_{-1}^{1} P_n(x) P_m(x) dx = 0 \quad \text{se } n \neq m$$ Tuttavia, i polinomi di Legendre "standard" non sono ortonormali. Poiché $$\|P_n\|^2 = \int_{-1}^{1} [P_n(x)]^2 dx = \frac{2}{2n+1}$$ per ottenere una base ortonormale $\{\phi_n(x)\}$, dobbiamo normalizzarli dividendo per la loro norma:$$\phi_n(x) = \sqrt{\frac{2n+1}{2}} P_n(x)$$

I primi polinomi di Legendre sono:

• $P_0(x) = 1$
• $P_1(x) = x$
• $P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)$
• $P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x)$

Il polinomio $P_n(x)$ ha esattamente $n$ radici reali e distinte nell'intervallo $]-1, 1[$, è funzione pari, $P_n(-x) = P_n(x)$, se $n$ è pari ed è dispari, $P_n(-x) = -P_n(x)$, se $n$ è dispari. Inoltre $P_n(1) = 1,\; P_n(-1) = (-1)^n, \;\; \forall n\in \mathbb N$.

I seguenti sono esempi significativi di applicazioni dei polinomi di Legendre.

• In elettrostatica, il potenziale $V$ generato da una distribuzione di carica può essere scritto come una serie di polinomi di Legendre. Il termine $P_0$ corrisponde al contributo di monopolo (carica totale), $P_1$ al dipolo, $P_2$ al quadripolo, e così via.
• I polinomi di Legendre sono il "cuore" delle armoniche sferiche $Y_{\ell}^{m}(\theta, \phi)$. In particolare, quando la distribuzione ha simmetria assiale ($m=0$), le armoniche sferiche si riducono ai polinomi di Legendre nella variabile $\cos \theta$.
• In analisi numerica, i polinomi di Legendre sono usati per l'integrazione numerica ultra-precisa. I nodi della Quadratura Gaussiana sono esattamente le radici dei polinomi di Legendre. Questo metodo permette di integrare esattamente polinomi di grado fino a $2n-1$ usando solo $n$ punti.