Ruolo di Hilbert

David Hilbert, tra la fine del XIX e l'inizio del XX secolo, rese rigoroso quel che Fourier aveva intravisto trasformando così lo studio delle funzioni in una branca organica della geometria, creando quello che oggi chiamiamo Spazio di Hilbert.
Fu Hilbert a compiere un salto di astrazione radicale proponendo di considerare una funzione come un "punto" o un "vettore" in uno spazio di dimensioni infinite.
In questo spazio, i coefficienti della serie di Fourier non sono altro che le coordinate di quel "punto-funzione" rispetto a una base, così da poter applicare l'intuizione geometrica della base canonica di $\mathbb{R}^n$ a problemi analitici complessi.
Il lavoro di Hilbert ha unificato l'algebra di vettori e matrici e l'analisi, ha dimostrato che la geometria di Euclide, opportunamente estesa, governa anche l'infinitamente complesso mondo delle funzioni.
Oggi, quando un software di compressione dati o un fisico teorico parla di "cambio di base", si muove nel mondo costruito da David Hilbert.

Per parlare di basi ortonormali in spazi di funzioni, era necessario un concetto rigoroso di ortogonalità. Hilbert formalizzò il prodotto interno per le funzioni, generalmente nello spazio $L^2$ delle funzioni $f$ di quadrato sommabile, cioè con $\displaystyle\int_a^b |f(x)|^2dx<\infty$, $$\langle f, g \rangle = \int_a^b f(x)\overline{g(x)} dx.$$ Grazie a questa definizione l'ortogonalità, da caso particolare delle funzioni trigonometriche, divenne una proprietà geometrica generale. Così due funzioni in questo spazio astratto possono essere tra loro ortogonali.
In dimensione infinita, per sapere se la nostra "base" di funzioni è sufficiente a rappresentare qualsiasi funzione, Hilbert introdusse il concetto di completezza: una base ortonormale è completa se non esiste alcun "vettore" non nullo che sia ortogonale a tutti gli elementi della base. Se la base è completa vi èconvergenza in norma, l'errore di approssimazione tende a zero. Senza il rigore di Hilbert, l'uso delle serie di Fourier poggiava su basi logiche fragili.

Hilbert studiò le equazioni integrali e differenziali riconducendole a operatori analoghi alle matrici che agiscono sui punti dello spazio. Scoprì che le basi ortonormali più utili in fisica non sono arbitrarie, ma sono composte dagli autovettori di questi operatori:

• in una corda vibrante, le basi di Fourier sono gli autovettori dell'operatore di derivata seconda;
• in meccanica quantistica, sviluppata da suoi allievi e da colleghi come Heisenberg e Schrödinger, gli stati energetici sono basi ortonormali di un operatore chiamato Hamiltoniano.

Si dice che quando la Meccanica Quantistica esplose negli anni '20, i fisici rimasero sbalorditi nello scoprire che i matematici guidati da Hilbert a Gottinga avevano già pronti tutti gli strumenti necessari per descrivere l'atomo, sviluppati anni prima per pura curiosità intellettuale: spazi di Hilbert, operatori autoaggiunti, basi ortonormali.

Il collegamento tra la completezza di Hilbert e l'identità di Parseval è il punto in cui la geometria e l'analisi si fondono perfettamente. Senza la completezza, l'identità di Parseval non sarebbe altro che una speranza; con essa, diventa una certezza matematica.
Una base ortonormale $\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n,\dots\}$ di uno spazio di Hilbert è completa se "riempie" tutto lo spazio, se nessuna "direzione" dello spazio è stata dimenticata, e ciò accade quando l'unico vettore perpendicolare a tutti i vettori della base è il vettore nullo.

Quando $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \langle f,e_n\rangle < \|f\|^2$ la base è incompleta, una parte della funzione (un po' della sua "energia") giace in una dimensione che la base non può vedere.
Quando invece si ha l'identità di Parseval $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \langle f,e_n\rangle^2 = \|f\|^2$ l'energia totale \(\|f\|^2\) della funzione \(f\) è esattamente uguale alla somma delle energie $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \langle f,e_n\rangle^2$ delle sue proiezioni, tutta l'energia della funzione è stata catturata dai "mattoni" della base.
Se vale l'identità di Parseval, la base è completa.

Il contributo fondamentale di Hilbert fu dimostrare che in uno spazio completo la serie di Fourier non è solo un'approssimazione vaga, ma converge alla funzione originale nel senso della norma.
Se definiamo $f_n(x)$ come la somma dei primi $n$ termini della serie, la completezza garantisce che: $$\lim_{n \to \infty} \|f - f_n\| = 0$$ In pratica, aggiungendo abbastanza termini della base l'errore, cioè l'energia residua che non è stata catturata, diventa nullo. L'identità di Parseval funziona perché è il limite di un processo di cattura dell'informazione che non lascia residui.
Senza la garanzia di completezza fornita da Hilbert, ad esempio non potremmo mai essere sicuri che un segnale campionato o trasformato sia reversibile.
Ad esempio comprimendo un file si può dire che la "distanza" tra l'originale e il compresso può essere misurata e minimizzata grazie alla struttura degli spazi di Hilbert.
Ad esempio in Meccanica Quantistica la completezza degli autostati di un operatore come l'energia garantisce che la somma delle probabilità di tutti i possibili risultati di un esperimento sia esattamente 1. Se la base non fosse completa, la probabilità "svanirebbe" nel nulla, rendendo la fisica inconsistente.
Hilbert ha cioè fornito la prova che le basi ortonormali sono "pienamente rappresentative". L'identità di Parseval conferma che quello delle basi è un linguaggio capace di esprimere ogni singola sfumatura della realtà che stiamo studiando in questo modo.

Negli spazi di Hilbert la struttura derivante dal prodotto interno o scalare permette una teoria molto simile all’algebra lineare.
Se nell’algebra lineare gli operatori sono matrici, nell’analisi funzionale, dove si possono distinguere operatori

• autoaggiunti \(T = T^*\) generalizzano le matrici simmetriche reali,
• normali \(TT^* = T^*T\) generalizzano le matrici normali,
• unitari \(T^*T = TT^* = I\) generalizzano le matrici ortogonali/unitarie
• proiezione ortogonale \(P^2 = P = P^*\) generalizzano le proiezioni ortogonali in \(\mathbb{R}^n\),
• di shift (unilaterale, bilaterale) sono fondamentali in teoria di Hardy, Fourier, operatori Toeplitz,
• di moltiplicazione \((Mf)(x) = m(x) f(x)\) sono “diagonali” rispetto alla base canonica \(L^2\),

la loro varietà e la ricchezza è enormemente più ampia.

• Operatori integrali, analogo funzionale delle matrici con kernel continuo, sono spesso compatti, autoaggiunti, o diagonalizzabili tramite trasformate integrali, hanno le seguenti forme tipiche
  • Operatori integrali di Volterra \[ (Tf)(x) = \int_0^x K(x,t) f(t)\, dt. \]
  • Operatori integrali di Fredholm \[ (Tf)(x) = \int_a^b K(x,t) f(t)\, dt. \]
  • Operatori di convoluzione \[ (Tf)(x) = (k * f)(x). \]
• Operatori differenziali, analogo infinito-dimensionale delle matrici tridiagonali o a bande, spesso non limitati, ma densamente definiti e autoaggiunti.
  • Derivata: \(Df = f'\)
  • Laplaciano: \({\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}f}}\)
  • Operatore di Sturm–Liouville: \( Lf = -(p f')' + q f. \)
• Operatori pseudodifferenziali, generalizzano gli operatori differenziali usando simboli \(a(x,\xi)\). \[ (Tf)(x) = \int e^{ix\xi} a(x,\xi) \hat f(\xi)\, d\xi. \] fondamentali in PDE ellittiche, microlocal analysis, teoria spettrale.
• Operatori di moltiplicazione e composizione, che agiscono punto per punto o tramite composizione.
  • Moltiplicazione \((M_m f)(x) = m(x) f(x).\)
  • Composizione \((C_\phi f)(x) = f(\phi(x)).\)
  centrali in dinamica, ergodicità, teoria di Koopman.
• Operatori di trasformazione (trasformate), analoghi funzionali delle matrici diagonalizzanti:
  • Trasformata di Fourier: ${\displaystyle (\mathcal F f) (\xi )={\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-i2\pi \xi x}\,dx,\quad \forall \xi \in \mathbb {R} .}$
  • Trasformata di Laplace: ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,}$
  • Trasformata di Mellin: ${\displaystyle {\mathcal {M}}\left\{f\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx.}$
  • Trasformata di Hilbert: ${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {2}{\pi }}\,\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }}\,\mathrm {d} \tau .}$
  Molti operatori diventano diagonali in queste basi;
• Operatori di proiezione e decomposizione, generalizzano le proiezioni ortogonali.
  • Proiezioni su sottospazi chiusi
  • Proiezioni di Riesz
  • Proiezioni spettrali (teorema spettrale)
• Operatori nel senso delle distribuzioni, agiscono su spazi di Schwartz, distribuzioni, Sobolev.
  • Derivata distribuzionale
  • Convoluzione con distribuzioni
  • Operatori di Fourier su distribuzioni
• Operatori nel calcolo funzionale, l’analogo infinito-dimensionale della diagonalizzazione, dato un operatore autoaggiunto \(A\), si definisce: \[ f(A) = \int f(\lambda)\, dE_\lambda, \] dove \(E_\lambda\) è la misura spettrale.
• Operatori di semigruppo, generalizzano l’esponenziale di una matrice.
  • Semigruppi di Markov
  • Semigruppi di calore
  • Semigruppi di Schrödinger
  \[ T(t) = e^{tA}. \]
• Operatori non lineari, centrali in analisi funzionale moderna.
  • Operatore di Nemytskii
  • Operatore di proiezione su insiemi convessi
  • Operatori monotoni
  • Subdifferenziali