Spazio $L^2$

L'introduzione degli spazi $L^2$ segna il passaggio definitivo dal calcolo infinitesimale, dove si studiano le singole funzioni, all'analisi funzionale, dove si studiano spazi di funzioni. Ė l'unico tra gli Spazi di Lebesgue $L^p$, nei quali è definita una norma, detti per questi anche Spazi di Banach, a essere anche uno Spazio di Hilbert, la cui norma deriva dal prodotto interno. Si può dire che in questi spazi la geometria euclidea incontra l'infinito dimensionale.

Dato un intervallo $I = [a, b]$, che può essere anche illimitato o tutto $\mathbb{R}$, lo spazio $L^2(I)$ è l'insieme di tutte le funzioni misurabili $f: I \to \mathbb{C}$ tali che il quadrato del loro modulo sia integrabile secondo Lebesgue, ovvero \[f \in L^2(I) \quad \iff \quad \int_I |f(x)|^2 dx < \infty.\] Questa condizione è detta quadrato-sommabile.

In fisica il quadrato di una grandezza, come l'ampiezza di un'onda, la velocità, l'intensità di corrente, è spesso proporzionale all'energia; così dire che una funzione appartiene a $L^2$ significa dire che il fenomeno che descrive ha un'energia totale finita.

La caratteristica unica di $L^2$ è che ammette un prodotto interno naturale, che definisce la "geometria" dello spazio:$$\langle f, g \rangle = \int_I \overline{f(x)}g(x) dx$$Da questo prodotto interno deriva la norma $L^2$, che misura la "distanza" tra funzioni o la "lunghezza" di una funzione: $$\|f\| = \sqrt{\int_I |f(x)|^2 dx}$$

Possiamo dunque definire l'angolo tra due funzioni e dire che due funzioni sono "perpendicolari" se $\langle f, g \rangle = 0$, nel qual caso vale Teorema di Pitagora $\|f+g\|^2 = \|f\|^2 + \|g\|^2$, altrimenti \(\|f+g\|^2 = \|f\|^2 + \|g\|^2-2\langle f, g \rangle.\)

Tra gli spazi $L^1$, delle funzioni integrabili, $L^\infty$, delle funzioni limitate, e i generici $L^p$, solo $L^2$ è uno Spazio di Hilbert.
Negli spazi $L^p$ con $p \neq 2$ è possibile definire una norma ma non un prodotto interno coerente con la norma; perdendo il concetto di "perpendicolarità" e di "proiezione ortogonale" è molto più difficile la scomposizione in basi.

Occorre però considerare il fatto che presa una funzione e cambiandone il valore in un punto l'integrale non cambia. Ciò suggerisce l'esistenza di funzioni non nulle con "lunghezza" zero, violando le proprietà della norma. Per risolvere questo problema $L^2$, anziché un insieme di funzioni, dev'essere considerato un insieme di classi di equivalenza: due funzioni sono considerate lo stesso elemento se sono uguali "quasi ovunque", ovvero ovunque tranne che su un insieme di misura nulla.

La proprietà che rende $L^2$ uno Spazio di Hilbert si esprime nella seguente affermazione.

Questo significa che ogni successione di funzioni che "sembra" convergere, una successione di Cauchy, allora convergerà sicuramente a una funzione di $L^2$. Senza questa proprietà, la completezza, molte operazioni limite come le serie di Fourier infinite ci potebbero far "cadere fuori" dallo spazio, rendendo incerti i metodi.