Prodotto interno

Un prodotto interno su uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$ (reale o complesso) è una funzione $$\langle \cdot, \cdot \rangle: V\times V \longrightarrow K$$ che associa ad ogni coppia di vettori $(\mathbf{u}, \mathbf{v})$ uno scalare, che soddisfa le seguenti proprietà per tutti i vettori $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$ e per ogni scalare $\alpha,\beta$:

• $\langle \alpha\mathbf{u} + \beta \mathbf{w}, \mathbf{v} \rangle = \alpha\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \beta\langle \mathbf{w}, \mathbf{v} \rangle$ (linearità nel primo argomento),
• $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \overline{\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle}$ (coniugato del simmetrico se $K$ è complesso) o $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle$ (simmetrico se $K$ è reale),
• $\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle \ge 0\quad\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle = 0 \iff \mathbf{u} = \mathbf{0}$ (definita positiva).

La norma $\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle}$ è la "lunghezza" del vettore. Il suo quadrato $\|\mathbf{v}\|^2 = \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle$ è qualcosa che in fisica si può associare a un'energia.

Legata alla disuguaglianza triangolare di Cauchy-Schwarz \[\|\mathbf{u}+\mathbf{v} \|\le \|\mathbf{u} \|+\| \mathbf{v}\|\] è la relazione \[\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle^2 \le \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle\] astrazione della formula \(\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \|\mathbf{u} \|\| \mathbf{v}\|\cos\theta\) valida per il Teorema di Carnot del coseno in due dimensioni. L'uguaglianza vale se e solo se i due vettori sono linearmente dipendenti, cioè uno è multiplo dell’altro.

Se $\mathcal{B} = \{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n,\dots\}$ è una base $$\mathbf{u}=\sum u_n\mathbf{e}_n,\;\; \mathbf{v}=\sum v_n\mathbf{e}_n \implies \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle= \sum_{i,j} u_iv_j\langle \mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j \rangle$$

Nello spazio dei polinomi $K[x]$, ad esempio, la forma più generale di prodotto interno è del tipo: \[\langle p, q \rangle= \sum_{n} a_{i,j}p_{n}q_{n}\] dove $p(x)=\sum_{n}p_nx^n,\;p(x)=\sum_{n}q_nx^n$ e la matrice $A=(a_{i,j})$ è simmetrica (o hermitiana nel caso complesso), definita positiva e spesso infinita se consideriamo $K[x]$ completo.

Nello spazio delle funzioni integrabili $[a,b]$, ad esempio, il tipo più importante di prodotto interno per applicazioni pratiche (analisi, fisica, approssimazione) è \[\langle p, q \rangle= \int_{a}^b p(x)q(x)w(x)dx\] dove $w(x)>0$ è una funzione peso integrabile su $[a,b]$.