Contributi di Fourier

Per oltre un secolo, il concetto di base è rimasto confinato negli spazi finiti di $\mathbb{R}^n$. La base canonica $\{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}$ nello spazio vettoriale $\mathbb{R}^3$ ha la sua importanza nella semplicità della rappresentazione di ogni vettore $\mathbf{v}$, identificabile con sue coordinate cioè le sue proiezioni $ \langle\mathbf{v}, \mathbf{i}\rangle,\; \langle\mathbf{v}, \mathbf{j}\rangle,\; \langle\mathbf{v}, \mathbf{k}\rangle.$
Questo è l'archetipo concettuale di un sistema di riferimento dove le componenti sono totalmente disaccoppiate e misurabili in modo indipendente.

Quando si iniziò a trattare anche le funzioni non più come singole entità, ma come elementi di uno spazio vettoriale, anche se di dimensione infinita, avvenne un passaggio rivoluzionario: se i vettori possono essere scomposti in una base, anche le funzioni potranno essere scomposte in una base di "funzioni fondamentali".

Jean-Baptiste Joseph Fourier all'inizio del XIX secolo, durante lo studio della diffusione del calore, osservò che qualsiasi funzione periodica poteva essere rappresentata come una somma eventualmente infinita di seni e coseni, cioè di armoniche fondamentali: $$f(x) \approx a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right]$$ Ciò implica che l'insieme di funzioni $$\mathcal{B}_{\text{Fourier}} = \{1, \cos(x), \sin(x), \cos(2x), \sin(2x), \dots \}$$ formano una base, ortogonale, per lo spazio delle funzioni periodiche.
In questo spazio il prodotto interno è definito da $$\langle f, g \rangle = \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)g(x) dx$$ Si verifica che $$ \begin{matrix} \langle \sin(mx), \cos(nx) \rangle = 0 \quad \text{per ogni } m, n \\ \langle \cos(mx), \cos(nx) \rangle = 0 \quad \text{per } m \ne n\\ \langle \sin(mx), \sin(nx) \rangle = 0 \quad \text{per } m \ne n\\ \langle \cos(nx), \cos(nx) \rangle = 1 \quad \text{per ogni } n \\ \langle \sin(nx), \sin(nx) \rangle = 1 \quad \text{per ogni } n \end{matrix} $$ Le componenti della base di Fourier sono mutuamente indipendenti in termini di contenuto energetico (misurato dall'integrale del prodotto) e proprio come nella base canonica di $\mathbb{R}^n$, l'ortogonalità permette di calcolare i coefficienti $a_n$ e $b_n$ tramite una semplice proiezione.
Ad esempio, il coefficiente $a_n$ si ottiene proiettando la funzione $f(x)$ sulla funzione $\cos(nx)$:$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \cos(nx) dx$$ In questo modo la trasformazione di Fourier disaccoppia la complessa forma della funzione in una somma di frequenze pure, traducendo la funzione dal dominio del tempo (o dello spazio) al dominio della frequenza.

La base canonica in $\mathbb{R}^n$ e la basi trigonometrica di Fourier condividono dunque la stessa logica intrinseca di disaccoppiamento e indipendenza. La prima ha fornito il modello geometrico, mentre la seconda ha esteso quel modello all'analisi, fornendo un "microscopio matematico" capace di analizzare qualsiasi segnale periodico nella sua composizione armonica.
Questo salto concettuale, dalla base finita di vettori alla base infinita di funzioni ortogonali, non solo ha risolto il problema della conduzione del calore, ma ha aperto le porte a tutta l'analisi moderna, dalle onde elettromagnetiche in fisica all'elaborazione dei segnali in ingegneria, rendendo il linguaggio delle basi ortonormali lo strumento fondamentale per comprendere i fenomeni vibratori e ondulatori della natura.