Random Walk: casi finiti
Trattiamo il caso finito
\[
x \in \{-N,-N+1,\dots,N\}
\]
dove le onde \(e^{ikx}\) diventano una vera base ortonormale discreta.
Bisogna però specificare le condizioni al bordo. Il caso naturale per conservare la diagonalizzazione tramite Fourier è quello periodico.
Lo spazio è
\[
\mathcal H = \{f: \{-N,-N+1,\dots,N\}\longrightarrow \mathbb C\}
\]
con prodotto scalare:
\[
\langle f,g\rangle=\sum_{x=-N}^{N} \overline{f(x)} g(x)
\]
Dimensione:
\[
\dim \mathcal H = 2N+1
\]
Limitandoci alle funzioni tali che
\[
f(N+1)=f(-N)
\]
l’intervallo si trasforma in un reticolo circolare (un ciclo).
L’operatore della passeggiata diventa:
\[
(Tf)(x)=\tfrac12 f(x+1)+\tfrac12 f(x-1)
\]
con aritmetica modulo \(2N+1\).
La matrice è una circolante tridiagonale.
Cerchiamo autofunzioni del tipo: \[ \phi_k(x)=e^{ikx} \] La periodicità richiede: \[ e^{ik(N+1)}=e^{ik(-N)} \] cioè: \[ e^{ik(2N+1)}=1 \] Quindi: \[ k_m=\frac{2\pi m}{2N+1} \qquad m=-N,\dots,N \] Abbiamo esattamente (2N+1) valori distinti.
Definiamo \[ \phi_m(x)=\frac{1}{\sqrt{2N+1}} e^{i k_m x} \] Allora: \[ \langle \phi_m,\phi_{m'}\rangle=\frac{1}{2N+1} \sum_{x=-N}^{N} e^{i(k_{m'}-k_m)x} \] La somma è una somma geometrica finita che vale: \[ (2N+1)\delta_{m,m'} \] Quindi: \[ \langle \phi_m,\phi_{m'}\rangle=\delta_{m,m'} \] Sono ortonormali. Inoltre \(2N+1\) vettori ortonormali in uno spazio di dimensione \(2N+1\) formano una base ortonormale completa. Vale la risoluzione dell’identità: \[ \sum_{m=-N}^{N} |\phi_m\rangle\langle\phi_m|=I \] Calcoliamo: \[ (T\phi_m)(x)= \tfrac12 e^{ik_m(x+1)} + \tfrac12 e^{ik_m(x-1)}= \] \[ =e^{ik_m x}\tfrac12(e^{ik_m}+e^{-ik_m})= \cos(k_m)\phi_m(x) \] Quindi: \[ \lambda_m=\cos\left(\frac{2\pi m}{2N+1}\right) \] Ora l’operatore si scrive: \[ T= \sum_{m=-N}^{N} \cos\left(\frac{2\pi m}{2N+1}\right) |\phi_m\rangle\langle\phi_m| \] Questa è una vera decomposizione diagonale finita.
Dopo n passi \[ T^n= \sum_{m=-N}^{N} \cos^n\left(\frac{2\pi m}{2N+1}\right) |\phi_m\rangle\langle\phi_m| \] Ogni modo evolve indipendentemente.
Quando \(N\to\infty\) (k_m) diventa continuo, la somma diventa integrale, la base discreta diventa base generalizzata, si recupera lo spettro continuo ([-1,1])
Nel caso finito la DFT (Discrete Fourier Transform) è la matrice unitaria che lo diagonalizza Infatti: \[ T = F^{-1} D F \] dove \(F\) è matrice DFT e \(D\) è matrice diagonale con elementi \( \cos(k_m). \)
Restando nell'ambito finito si potrebbe anche considerare i casi di intervalli con agli estremi barriere assorbenti o anche riflettenti.