Intuitivamente, un polimino è la forma assunta da $n$ quadrati connessi, uniti in corrispondenza di un bordo e non di un solo vertice. Un domino è l'unico esempio di polimino a 2 quadrati. Tra gli altri poli(do)mini, i 7 pezzi del Tetris, famoso gioco creato da Alexey Pajitnov nel 1984, sono le diverse forme invarianti per traslazioni e rotazioni, ma non simmetrie, dei polimini di 4 elementi, i tetramini. La genialità del gioco sta nelle proprietà geometriche di queste forme e nella loro capacità di riempire spazi in modi imprevedibili.
L'era moderna dei polimini era iniziata nel 1953, quando Golomb, allora uno studente di matematica ad Harvard, ne parlò in una conferenza successivamente pubblicata in Checker boards and Polyominoes su American Math. Monthly, tenuta all'Harvard Mathematics Club. Martin Gardner aggiunse popolarità all'argomento quando discusse l'articolo di Golomb nella sua rubrica su Scientific American e i polimini divennero uno dei suoi argomenti preferiti, su cui tornare spesso.
Come sottolinea Golomb nella prefazione alla prima edizione del suo libro Polyominoes, ci sono molti antecedenti, sia sotto forma di particolari enigmi, sia nelle discussioni sul numero di schemi consentiti di un particolare tipo nei giochi da tavolo, come il Go.
Un antecedente degno di nota apparve nel 1907, quando un enigma che coinvolgeva i 12 polimini a 5 quadrati, fu proposto nel libro The Canterbury Puzzles and Other Curious Problems di H.E. Dudeney.
Nel libro Polyominoes: A guide to puzzles and problems in tiling sui puzzle poliminici, G. E. Martin ricorda di una varietà di problemi poliminici, chiamati problemi di dissezione, apparsi sulla rivista britannica Fairy Chess Review negli anni '30.
Il problema del conteggio dei polimini distinti per ogni numero $n$ di quadrati, una sfida che combina teoria dei grafi e combinatoria nonché la ricerca di algoritmi computazionali, rimane irrisolto in forma chiusa. La sequenza di questi numeri è \[1, 1, 2, 5,12 ,35, 108, 369, 1285, 4655, 17073, 63600, 238591, \dots\](vedi Online Encyclopedia of Integer Sequences) e cresce esponenzialmente con il numero $n$ di elementi del polimino.
Anche il problema che riguarda la capacità dei polimini di tassellare il piano o riempire contenitori di forme specifiche è particolarmente studiato.
Il problema di determinare quali rettangoli possono essere riempiti completamente con un certo set di polimini è un classico esempio di problema NP-completo. Il più celebre è probabilmente il puzzle che sfida a riarrangiare i 12 pentamini liberi in un rettangolo 6×10, 5×12, 4×15, o 3×20. Esistono migliaia di soluzioni possibili per ciascun rettangolo.
Algoritmi come l'Algorithm X di Donald Knuth sono diventati strumenti standard per risolvere questi problemi di tassellazione.
I polimini possono essere generalizzati passando a forme su altri reticoli bidimensionali, come il reticolo triangolare o esagonali a nido d'ape, o anche a più dimensioni. In particolare:
- i poliamanti, le forme assunte dalle figure composte da triangoli equilateri uniti per i lati;
- i poliaboli, le forme assunte dalle figure composte da triangoli retti isosceli uniti per i lati;
- i poliesagoni, le forme assunte dalle figure composte da esagono uniti per i lati;
- i policubi, le forme assunte dalle figure tridimensionali composte da cubi uniti per le facce.
- Polyomino, From Wikipedia, the free encyclopedia
- Polyominoes from Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions: The First 'Scientific American' Book of Puzzles and Games by Martin Gardner
- Polyominoes, by Lewis Patterson
- Topological, geometric and combinatorial properties of random polyominoes, by Érika B. ROLDÁN ROA
- Polyform, From Wikipedia, the free encyclopedia
- The Poly Pages, by Andrew.L. Clarke