Passeggiate casuali

Senza memoria, a passo costante in tre direzioni ortogonali, simmetriche: simulazioni.

Analizziamo il caso in cui la passeggiata casuale sia la composizione di passeggiate casuali 1-dimensionali lungo ciascuna direzione.

var v_x=new Array(n).fill().map(x => 2*Math.round(Math.random())-1); var v_y=new Array(n).fill().map(x => 2*Math.round(Math.random())-1); var v_z=new Array(n).fill().map(x => 2*Math.round(Math.random())-1);

Per le posizioni

var x=v_x.map((sum => value => sum += value)(0)); var y=v_y.map((sum => value => sum += value)(0)); var z=v_z.map((sum => value => sum += value)(0));
Alternativamente si possono utilizzare le istruzioni seguenti.
v = new Array(n).fill().map(x => [2*Math.round(Math.random())-1, 2*Math.round(Math.random())-1, 2*Math.round(Math.random())-1]); P = [[0,0,0],...V.map((sum => value => sum = [sum[0] + value[0], sum[1] + value[1], sum[2] + value[2]])([0, 0, 0]))];

Ad esempio per passi si ottiene:


In questo caso naturalmente il numero dei percorsi che portano al punto di coordinate $(x,y,z)$ con n passi lungo ciascuna direzione è \[\begin{cases}\binom{n}{\frac{n+|x|}{2}}\cdot \binom{n}{\frac{n+|y|}{2}}\cdot \binom{n}{\frac{n+|z|}{2}}&\quad \text{per n+x, n+y, n+z pari} \\ 0 &\quad \text{altrimenti} \end{cases}\] ovver i coefficienti dello sviluppo di $\Big((x+x^{-1})(y+y^{-1})(z+z^{-1})\Big)^n$.

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