Passeggiate casuali

Prime analisi di passeggiate senza memoria, a passo costante, simmetriche.

Seppure il moto dell'ubriaco sia imprevedibile, possiamo porci varie domande sulla prevedibilità di certi suoi aspetti. Ad esempio potremmo chiederci quali sono le possibili posizioni finali e in che misura siano probabili.

Possiamo rendercene conto ripetendo passeggiate di 4 passi e rappresentando mediante istogramma le frequenze delle posizioni finali raggiunte.
n° di passi:

La posizione media finale raggiunta al termine della passeggiata è evidentemente la posizione iniziale, lo zero.

Nel dispositivo in figura, proposto a fine ‘800 da Francis Galton, delle palline vengono fatte scendere entro una griglia in cui dei chiodi costituiscono un ostacolo che la singola pallina può aggirare indifferentemente a destra o a sinistra. Ne deriva in modo meccanico un istogramma de descrive la distribuzione delle frequenze assolute delle posizioni raggiunte.

Possiamo visualizzare la distribuzione sperimentale dell'allontanamento massimo in una passeggiata casuale di $n$ passi, cioè $ \max\{|x_k|, k=1,2,\dots,n\}$ dove $x_k$ è la posizione raggiunta dopo $k$ passi in ciascuna passeggiata, simulando passeggiate con un numero di passi pari a:
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Possiamo anche visualizzare la distribuzione sperimentale dell'allontanamento medio in una passeggiata casuale di $n$ passi, cioè $ \frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n|x_k|}{n}$ dove $x_k$ è la posizione raggiunta dopo $k\le n$ passi in ciascuna passeggiata, simulando passeggiate con un numero di passi pari a:
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Un'altra domanda interessante riguardo a uno degli aspetti del moto è quante volte si ripassa per il punto iniziale o si passa per un qualunque altro punto nel corso della passeggiata .

Possiamo rispondere ancora per via sperimentale ripetendo passeggiate di 50 passi e osservando l'istogramma delle frequenze relative al numero di passaggi per la posizione .

Possiamo chiederci con quale frequenza cambierà lato rispetto al punto iniziale l'ubriaco. A causa della simmetria del percorso ci si aspetta che in un percorso lungo egli trascorra circa metà del suo tempo su ciascun lato del punto di partenza.

Possiamo rispondere ancora per via sperimentale ripetendo passeggiate di 50 passi e rappresentando mediante istogramma delle frequenze relative al numero di attraversamenti della posizione .
È vero esattamente il contrario. Indipendentemente da quanto a lungo cammini, il numero più probabile di cambi da un lato all'altro sembra essere 0, il successivo più probabile 1, seguito da 2, 3 e così via!

Un'altra questione è quanti passi per raggiungere la parte positiva del percorso, ovvero per raggiungere la posizione 1, o più in generale quanti passi occorrono per raggiungere una data posizione.

Possiamo rispondere ancora per via sperimentale ripetendo passeggiate di 100 passi al massimo osservando l'istogramma delle frequenze relative al numero di passi per raggiungere la posizione .

Si osservi che la frequenza relativa con cui si raggiunge la posizione data nel corso della passeggiata è 0.745

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