1-dimensionali, senza memoria, a passo variabile: moto geometrico browniano.
Facendo variare il passo dell'ubriaco secondo la legge otteniamo un moto, detto moto aritmetico browniano, che somiglia all’andamento del prezzo di un titolo in borsa. Se è il rendimento atteso, la media, e è la volatilità, lo scarto, come legge della variazione del prezzo, ad esempio in unità di tempo la lista dei vari rendimenti potrebbe essere la seguente: Il cambiamento del prezzo per effetto di questi rendimenti, le somme cumulate, sarebbe di conseguenza:
con grafico
Ritornando al moto aritmetico browniano, l'istogramma della distribuzione sperimentale delle posizioni infine raggiunte, simulando passeggiate di 4 passi, è mostrato di seguito.
Se poi consideriamo l'esponenziale delle posizioni del moto aritmetico browniano otteniamo il moto geometrico browniano utilizzato nella finanza matematica come modello per i prezzi delle azioni secondo Black-Scholes. Se è il trend e lo scarto, ad esempio in passi avremo un diagramma orario come il seguente.