Passeggiate casuali

Con memoria, a passo costante, asimmetrico, in avanti oppure indifferentemente destra o sinistra.

Può essere introdotta dalla descrizione modo seguente.

Uscite da un locale, in stato confusionale a causa di alcool e bisbocce. Anche se non siete minimamente in grado di guidare, dovete comunque ritrovare la macchina che non vi ricordate dove avete parcheggiato. Così, cominciate a vagare per la città, che si ipotizza essere a pianta regolare con vie ortogonali come in una griglia, e ogni volta che arrivate a un incrocio scegliete a caso, con probabilità p costante, se girare o tirare dritto; e se girate avete uguale probabilità per la svolta a destra o per la svolta a sinistra. In breve, avete probabilità p/2 di girare a sinistra, p/2 di girare a destra e 1–p di andare dritto.
da Ritorno all'origine su RUDI MATEMATICI (495).

Procedendo di passi con probabilità di girare o a destra o sinistra, indifferentemente, e 0.5 di tirare dritto, la passeggiata potrà avere un tracciato come il seguente.


Per creare una lista di queste scelte con Javascript

P = [[0,0], [[1,0],[0,1],[-1,0],[0,-1]][Math.floor(Math.random()*5)]]; for (var i=1; i<n; i++) P.push( (P[i][0] != P[i-1][0])? (Math.random()>p)? [2*P[i][0]-P[i-1][0],P[i][1]]: (Math.random()<0.5)? [P[i][0],P[i][1]+1]: [P[i][0],P[i][1]-1]: (Math.random()>p)? [ P[i][0],2*P[i][1]-P[i-1][1]]: (Math.random()<0.5)? [P[i][0]+1,P[i][1]]:[P[i][0]-1,P[i][1]] )
Così ad esempio per passi, con probabilità di girare o a destra o sinistra, indifferentemente, le posizioni occupate successivamente per effetto di queste scelte può così essere calcolato come somma cumulata ottenendo

Per avere una valutazione approssimata del numero di modi di raggiungere un certo punto in passi, in sostanza in una passeggiata casuale nelle due direzioni senza retrocedere, basandosi sulla ripetizione di passeggiate, si può moltiplicare per $3^\text{numero di passi}$ la frequenza relativa con cui si raggiunge una posizione finale.

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