Passeggiate casuali

Senza memoria, a passo variabile secondo la binomiale, simmetrico a 360°: simulazioni.

Analizziamo il caso in cui l’ubriaco si muove in direzione l'angolo $\theta \in [0,\pi[$ a caso secondo una legge uniforme e con passo variabile secondo una binomiale a valori $-L,-L+1,\dots,-1,0,1,\dots,L-1,L$.

Per creare una lista di queste scelte con Javascript

theta = new Array(n).fill().map(() => Math.random()*Math.PI); dP = new Array(2*L+1).fill().map((i,x) => i-L); dPs = new Array(n).fill().map(() => dP[Math.floor(Math.random()*(2*L+1))]);
per cui le posizioni via via raggiunte
P = theta.reduce( (total,x,i)=> [...total,[total[i][0]+dPs[i]*Math.cos(x),total[i][1]+dPs[i]*Math.sin(x)]], [[0,0]] )

Così ad esempio per passi di lunghezza massima si ottiene:


Possiamo visualizzare anche la distribuzione sperimentale della distanza della posizione finale della passeggiata simulando passeggiate con 30 passi lunghi al massimo .

Si ottiene come distanza media.
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