Passeggiate casuali

1-dimensionali, senza memoria, a passo variabile continuo: posizioni finali.

Le posizioni raggiunte dopo $n$ passi, da $-n$ a $+n$, costituiscono i valori di una variabile aleatoria continua $X_n$

Dopo un solo passo dunque $X_1$ è una variabile aleatoria uniforme a valori $[-1,1]$ e con densità di probabilità $$f_{X_1}(x)=\begin{cases} \frac{1}{2}\quad\mbox{per}\;\;-1\lt x\lt 1 \\ 0\quad\mbox{altrimenti}\end{cases}.$$

Dopo due passi si ha la variabile aleatoria $X_2=X_1+X_1$.
Per la somma di due variabili aleatorie discrete $X$ e $Y$ indipendenti si ha $$p(X+Y=x)=\sum_\xi p(X+\xi=x|Y=\xi)=\sum_\xi p(Y=\xi)p(X=x-\xi)$$ e analogamente per la densità di probabilità di due funzioni continue \[f_{X+Y}(x)=\int_{-\infty}^\infty f_Y(\xi)f_X(x-\xi)d\xi\] quella che si dice convoluzione tra le due funzioni densità di probabilità.
Dunque \[f_{X_1+X_1}(x)=\int_{-\infty}^\infty f_{X_1}(\xi)f_{X_1}(x-\xi)d\xi=\int_{max(-1,x-1)}^{min(1,x+1)} \frac{1}{2}\frac{1}{2}d\xi\] che quindi ha come densità di probabilità $f_{X_2}(x)=\begin{cases} \frac{1}{4}(x+2)&\quad\mbox{per}\;\;-2\lt x\le 0 \\ \frac{1}{4}(-x+2)&\quad\mbox{per}\;\;0\lt x\lt 2 \\ 0&\quad\mbox{altrimenti}\end{cases}$

La rappresentazione grafica mostra il significato dell'operazione di convoluzione: il suo risultato è la metà dell'area della figura intersezione tra le quelle delimitate dalle due funzioni e l'asse x.

Dopo tre passi avremo la variabile aleatoria $X_3=X_2+X_1$ con densità di probabilità \[f_{X_1+X_2}(x)=\int_{-\infty}^\infty f_{X_2}(\xi)f_{X_1}(x-\xi)d\xi=\int_{max(-2,x-1)}^{min(2,x+1)} \frac{1}{2}\frac{1}{4}(-|\xi|+2)d\xi\] Ad esempio per $-3\lt x \lt -1$ si riduce a $\int_{-2}^{x+1} \frac{1}{8}(\xi+2)d\xi=...=\frac{1}{16}(x+3)^2$ e quindi $$f_{X_3}(x)=\begin{cases} \frac{1}{16}(x+3)^2&\quad\mbox{per}\;\;-3\lt x\lt -1 \\ \frac{1}{8}(-x^2+3)&\quad\mbox{per}\;\;-1\le x\le 1 \\ \frac{1}{16}(-x+3)^2&\quad\mbox{per}\;\;\;\;\;\;1\lt x\lt 3 \\ 0&\quad\mbox{altrimenti}\end{cases}$$

Si noti che la funzione ha un flesso, con pendenza $\pm\frac{1}{4}$, nei punti di ascissa $\mp 1$

In generale \[f_{X_n}(x)=\frac{1}{2}\int_{max(-n+1,x-1)}^{min(n-1,x+1)} f_{X_{n-1}}(\xi) d\xi\] così per $x \le 0$ avremo $f_{X_4}(x)=\begin{cases} \frac{1}{32}\int_{-3}^{x+1} (\xi+3)^2d\xi=\frac{(x+4)^3}{96} \quad\mbox{per}\;\;-4\lt x\le -2\\ \frac{1}{32}\int_{x-1}^{-1} (\xi+3)^2d\xi+\frac{1}{16}\int_{-1}^{x+1} -\xi^2+3d\xi= -\frac{3 {{x}^{3}}+12 {{x}^{2}}-32}{96}\quad\mbox{per}\;\;-2\lt x\le 0 \end{cases}$

In sostanza $f_{X_4}(x)=\begin{cases} \frac{(-|x|+4)^3}{96} &\quad\mbox{per}\;\;2\lt |x|\le 4\\ -\frac{3 {{x}^{3}}+12 {{x}^{2}}-32}{96}&\quad\mbox{per}\;\;0\le |x|\le 2 \\ 0&\quad\mbox{altrimenti}\end{cases}$

Anche in questo caso la curva assume una forma sempre più "a campana" tendendo infine a diventare una gaussiana per il

Teorema del limite centrale.
Date $ n$ variabili casuali indipendenti $ X_i$, anche descritte da distribuzioni di probabilità diverse (purché aventi valore medio e varianza finiti), al crescere di $ n$ la combinazione lineare $\displaystyle \sum_{i=1}^n \alpha_i X_i$ ha distribuzione di probabilità normale di parametri $\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \mu=\sum_i\alpha_i \mu_i \\ \sigma^2=\sum_i\alpha_i^2 \sigma_i^2 \end{array}\right.$ purché sia $\displaystyle \alpha_i^2 \sigma_i^2 \ll \sigma^2 $ per ogni variabile $ X_i$ non distribuita normalmente.

Le nostre $X_1$ hanno tutte la stessa distribuzione uniforme con media 0 e scarto_q.m. pari a $\frac{\sqrt {3}}{3}$ e così le $X_n=\displaystyle \sum_{i=1}^nX_1$ avranno ancora media nulla e scarto_q.m. pari a $\frac{\sqrt {3n}}{3}$.

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