Passeggiate casuali

Quando poi il passo diventa piccolo ed il numero $n$ di passi, assimilato al tempo, diventa grande, l'equazione alle differenze finite diventa un'equazione alle derivate parziali \[\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}p(t,x)=\frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2}p(t,x)\] che è l'equazione di diffusione o equazione del calore la cui soluzione fondamentale è $$p(t,x)=\frac{\alpha}{\sqrt t}e^{\frac{-x^2}{2t}}$$ cioè una Gaussiana con media nulla che si allarga nel tempo poiché $\sqrt t$ è la deviazione standard.

Nel caso della v.a. $X_n$ passeggiata casuale asimmetrica di $n$ passi con probabilità $\pi$ di fare il passo in verso positivo, poichè $\displaystyle p(n+1,x)=\pi p(n,x-1)+(1-\pi)p(x,x+1)$ applicando lo sviluppo di Taylor a entrambi i membri
$\displaystyle p(n,x)+\frac{\partial}{\partial n}p(n,x)+ ...=$
$=\pi\left(p(n,x)-\frac{\partial}{\partial x}p(n,x)+\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}p(n,x)+...\right)+(1-\pi)\left(p(n,x)+\frac{\partial}{\partial x}p(n,x)+\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}p(n,x)+...\right)$
e poi approssimando si ottiene \[\displaystyle \frac{\partial}{\partial n}p(n,x)=(1-2\pi)\frac{\partial}{\partial x}p(n,x)+\frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2}p(n,x)\] che è l'equazione di Fokker-Plank