Passeggiate casuali

1-dimensionali con memoria.

Consideriamo una passeggiata casuale, in un verso o in quello opposto indifferentemente, il cui passo sia metà del passo precedente.

Effettuando passi si ottiene un diagramma orario come il seguente.


Poiché il passo i-esimo è $\frac{2\delta_i-1}{2^i}$ con $\delta_i \in \{0,1\}$, la posizione raggiunta in $n$ passi è $$\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac{2\delta_i-1}{2^i}=2\sum_{i=1}^{n}\frac{\delta_i}{2^i}-\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2^i}= 2\sum_{i=1}^{n}\frac{\delta_i}{2^i}-\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)$$ dove $\displaystyle 0\le\sum_{i=1}^{n}\frac{\delta_{i}}{2^i}=0.\delta_1\delta_2\dots\delta_{n}\le 1-\left(\frac{1}{2}\right)^n$ è un numero binario decimale finito.
Quindi la posizione raggiunta è il punto simmetrico di $1-\left(\frac{1}{2}\right)^n$ rispetto a $=0.\delta_1\delta_2\dots\delta_{n}$.
La posizione raggiunta si può anche determinare come $$\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac{2\delta_i-1}{2^i}=\sum_{j=0}^{n-1}\frac{\delta_{j+1}}{2^j}-1+\left(\frac{1}{2}\right)^n=0.\delta_1\delta_2\dots\delta_{n}1-1.$$

I valori di $X_{2n}$ sono $\frac{2i}{2^{2n}}$ mentre di $X_{2n-1}$ sono $\frac{2i-1}{2^{2n}}$.

Abbastanza evidente che la variabile aleatoria avente per valori le posizione finali segue una distribuzione uniforme.

Possiamo visualizzare l'istogramma della distribuzione sperimentale delle posizioni raggiunte alla fine simulando passeggiate di 10 passi.

n° passi:

Un altro tipo di passeggiata casuale di $n$ passi possiamo generarlo a partire dalle prime $n$ cifre decimali della forma binaria $0.d_1d_2d_3\dots d_n$ di un numero casuale tra 0 e 1, che in Javascript si ottiene con il metodo , interpretando gli zeri come un passo nel verso negativo.

Effettuando passi si ottiene un grafico della legge oraria come il seguente.


L'istogramma della distribuzione sperimentale delle posizioni raggiunte alla fine simulando passeggiate di 10 passi è il seguente.
n° passi:

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