Passeggiate casuali

Un altro modo generale per affrontare lo studio della passeggiata casuale si serve del metodo delle differenze finite.

Nel caso della v.a. $X_n$ passeggiata casuale simmetrica di $n$ passi allora, poichè $\displaystyle X_{n+1}=X_n+X$, la probabilità di raggiungere la posizione $x$ dopo $n+1$ passi è \[\displaystyle p(n+1,x)=\frac{1}{2}p(n,x-1)+\frac{1}{2}p(n,x+1),\] relazione che si può riscrivere come \[\displaystyle p(n+1,x)-p(n,x)=\frac{p(n,x-1)+p(n,x+1)-2p(n,x)}{2}\] e quindi otteniamo la seguente equazione alle differenze. \[\displaystyle \Delta_n p(n,x)=\frac{1}{2} \Delta^2_x p(n,x).\]

Si osservi che nel caso di una passeggiata casuale con due barriere assorbenti $a\lt0$ e $b\gt0$, considerando $h(x)$ la probabilità che partendo da $x$ si raggiunga prima $a$ di $b$ è tale che \[h(x) = \frac{1}{2}h(x-1)+ \frac{1}{2}h(x+1), \quad h(a)=1,\;h(b)=0\] Poiché dunque la funzione discreta $h$ è tale che $h(x)$ è la media dei valori ai punti vicini non può che essere lineare, dunque $h(x)=A+Bx$. Imponendo le condizioni al contorno: \[\begin{cases}A+Ba=1 \\ A+Bb=0 \end{cases}\] si ricava \[A =\frac{b}{b-a}, \;\; B=-\frac{1}{b-a}\quad \longrightarrow\quad h(x)=\frac{b}{b-a}-\frac{x}{b-a}\] da cui in particolare la probabilità di raggiungere $a$ prima di $b$ partendo da 0 è \[h(0)=\frac{b}{b-a}.\]