Passeggiate casuali

1-dimensionali con barriere assorbenti.

Consideriamo il caso di passeggiata casuale con una barriera che, anziché riflettente, sia assorbente, interrompendo così la passeggiata dell'ubriaco quando la raggiunge.
Ciò si collega al classico problema dei giochi d'azzardo, quello della rovina del giocatore, di valutare la probabilità che un giocatore, iniziando a giocare con una certa somma, finisca per perdere tutto e quindi non possa più tentare la fortuna per rifarsi.

p = 0.5;
x = [0];
a = -5;
for (var i=0; i<n; i++)
	x.push((x[i]>a)? (Math.random()<p)? x[i]+1: x[i]-1 : a );

Quando ogni passo è compiuto nel verso positivo con probabilità ma siamo in presenza di una barriera riflettente in a=<0 avremo una sequenza come la seguente se il numero di passi è .

La figura seguente mostra graficamente la sequenza delle posizioni.

L'istogramma della distribuzione sperimentale delle posizioni finali si può ottenere simulando passeggiate ad esempio di 10 passi.

n° passi:

Più interessante è chiedersi dopo quanti passi sarà assorbito l'ubriaco in una passeggiata senza limite di passi. L'istogramma della distribuzione sperimentale del numero di passi prima d'essere assorbito si può ottenere simulando passeggiate ad esempio di 1000 passi massimo per evitare il potenziale infinito.

n° passi:

La media del numero di passi in cui l'ubriaco viene assorbito è 222.7

Sembra che quando il percorso continua abbastanza a lungo, la frequenza tende a 1, quindi è quasi certo che finirà alla barriera.
Nell'interpretazione delle scommesse, se un giocatore gioca contro un avversario con una capitale infinito, alla fine sarà sicuramente rovinato.
Questa è una cattiva notizia per il giocatore compulsivo: anche se tutte le sue puntate sono a quote ragionevoli, sta giocando contro un "avversario" (il mondo del gioco d'azzardo) con un capitale praticamente illimitato, rendendo la sua rovina quasi certa.

Se, anziché una sola, consideriamo due barriere, la passeggiata casuale avviene secondo le seguenti modalità.

var p = 0.5;
var x = [0];
var a = -5;
var b = 4;
for (var i=0; i<n; i++)
	x.push((x[i]>a && x[i]<b)? ((Math.random()<p)? x[i]+1: x[i]-1) : ((x[i]<b)? a : b) );

Quando ogni passo è compiuto nel verso positivo con probabilità p= ma siamo in presenza di una barriera riflettente in a=<0 e un'altra barriera riflettente in b =>0 avremo una sequenza come la seguente se il numero di passi è .

La figura seguente mostra graficamente la sequenza delle posizioni.

L'istogramma della distribuzione sperimentale delle posizioni finali si può ottenere simulando passeggiate ad esempio di 4 passi.

n° passi:

Anche in questo caso ci chiediamo dopo quanti passi sarà assorbito l'ubriaco. L'istogramma della distribuzione sperimentale del numero di passi prima d'essere assorbito si può ottenere simulando passeggiate ad esempio di 1000 passi massimo.

n° passi:

La media del numero di passi in cui l'ubriaco viene assorbito prima di terminare il percorso è 19.2

Si può dimostrare che il numero previsto di passi prima che l'ubriaco venga assorbito in una passeggiata senza limite ai passi è il prodotto $|a|b$ delle distanze delle due barriere dal punto di partenza. Nel caso di una partita tra due giocatori che posseggono rispettivamente un capitale $|a|$ e $b$ e vincono o perdono un'unità di capitale a ogni lancio di una moneta, la partita termina con un giocatore rovinato dopo $|a|b$ lanci di monete. Questo è considerevolmente più lungo di quanto la maggior parte delle persone possa immaginare. Significa che in una partita equa tra due giocatori, ognuno dei quali inizia con 100 e punta 1, la partita media durerà 10.000 puntate. Ancora più controintuitivo: se un giocatore inizia con 1 e l'altro con 500, la partita media durerà 500 puntate. Nella passeggiata casuale, se l'uomo inizia un passo da una barriera e 500 passi dall'altra, la sua camminata media prima di essere assorbito è di 500 passi!

Un caso particolare è quando due barriere assorbenti si trovano alla stessa distanza $d$ dal punto iniziale del percorso. Il numero atteso di passi prima di finire assorbito è $n=d^2$, ovvero il numero previsto di passi prima che l'ubriaco raggiunga per la prima volta una distanza $d$ da 0 quando non vi siano barriere in mezzo. per di più possiamo dire che se un ubriaco compie $n$ passi e si trova alla distanza massima da 0, ci si attende che tale distanza massima sia $\sqrt n$.
Attenzione che la distanza prevista da 0 dopo n passi non deve essere massima. Si è già visto che quando $n$ tende a infinito, il limite per la distanza prevista è $\sqrt{\frac{2n}{\pi}}\approx 0.8\sqrt{n}$.

Qual è la probabilità di essere assorbito in una passeggiata di n passi? Qual è la probabilità di essere assorbito in a, o in b, in una passeggiata di n passi?

Nel caso di un gioco tra due giocatori che posseggono rispettivamente un capitale |a| e b e vincono o perdono un'unità di capitale a ogni lancio di una moneta, la probabilità che, continuando abbastanza a lungo il gioco, il primo giocatore vada in rovina è $\frac{b}{|a|+b}$ è quella che ci vada il secondo è $\frac{|a|}{|a|+b}$.

Questo fatto ci permette di dire che in una passeggiata casuale senza limite di passi ogni punto è quasi certamente raggiungibile. Infatti se ad esempio consideriamo la posizione $a\lt0$ e la posizione $b\gt0$, la probabilità di essere assorbito in $a$ è $\frac{b}{|a|+b}$ che per $b$ tendente all'infinito vale 1.

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