Passeggiate casuali

1-dimensionali, senza memoria, a passo variabile normale: moto browniano.

Consideriamo che l'ubriaco cambi la lunghezza del passo - che così non avrebbe limite - secondo una legge normale standardizzata. Per simulare un'estrazione casuale possiamo considerare una somma di uniformi tra 0 e 1. In geneale la somma di $n$ variabili indipendenti di media $μ$ e varianza $σ^2$ ha media $n \cdot μ$ e varianza $n \cdot σ^2$. La somma di 30 varabili uniformi tra 0 e 1 approssima abbastanza bene la gaussiana standard.

Si realizzza così un moto browniano.

passo = new Array(n).fill().map(x => eval((new Array(30).fill(0).reduce(x=> x+Math.random(),0) - 15)/Math.sqrt(15/12)))

Ad esempio una lista di passi è la seguente:

mentre le posizioni occupate successivamente, le somme cumulate dei passi, sono:

con il seguente grafico della legge oraria.

Simulando passeggiate di 20 passi si ottiene l'istogramma della distribuzione sperimentale delle posizioni raggiunte alla fine .

Volendo considerare una legge normale di media e scarto dovremmo modificare la formula con cui scegliere la lunghezza del passo:

Ad esempio con passi la loro lista può essere la seguente:

Le posizioni occupate successivamente per effetto di queste scelte, le somme cumulate, sono:

che possiamo rappresentare graficamente.

L'istogramma della distribuzione sperimentale delle posizioni infine raggiunte, simulando passeggiate di 4 passi, è mostrato di seguito.

Le posizioni finali dopo n passi sono anch'esse distribuite normalmente con media n volte la media del passo e varianza n volte la varianza del passo.

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