Passeggiate casuali

1-dimensionali, senza memoria, a passo costante e asimmetriche: simulazioni.

Consideriamo ora un ubriaco che si muove, pur sempre a passo costante, in un verso oppure in quello opposto con diversa probabilità. Per giustificare la situazione potremmo immaginare che il percorso sia in pendenza o che l'ubriaco abbia una certa consapevolezza del verso da seguire per il bar più vicino o per fare ritorno a casa. In sostanza supporremo che l'ubriaco, anziché essere indifferente, preferisca seguire il verso positivo con probabilià $p$ e quindi andare nel verso negativo con probabilità $q=1-p$.

Con javascript potremmo servirci dell'espressione

(Math.random()<p)? 1: -1
per effettuare la scelta.

Siano ad esempio i passi da compiere.
Ogni volta, dopo ogni passo la scelta casuale è andare nel verso positivo, +1, con probabilità $p =$ oppure nel verso opposto, – 1, ovviamente con probabilità $q =$ 1-0.4.

Potremmo dunque ottenere la seguente sequenza di scelte.

Di conseguenza la sequenza di posizioni che rappresenta in buona sostanza la legge oraria del moto è la seguente somma cumulata.

Da qui otteniamo il grafico della legge oraria.

Considerariamo le frequenze di arrivo nelle possibili posizioni finali.

Possiamo farlo ripetendo passeggiate di 4 passi, con probabilità di andare nel verso positivo, rappresentando mediante istogramma le frequenze delle posizioni finali raggiunte.

❯❯