Passeggiata in due direzioni

Nel caso in cui l’ubriaco si muove, con uguale probabilità e passo costante, nei due versi di due direzioni ortogonali, la posizione raggiunta dopo $n$ passi è una variabile casuale bidimensionale $Z_n=(X_n,Y_n)$ che assume i valori $(x,y)$ con \[x,y=-n,-n+1, ..., 0, ..., n-1, n\] e \[p\Big(Z_n=(x,y)\Big)=\begin{cases} \binom{n}{\frac{n+|x|+|y|}{2}}\cdot\binom{n}{\frac{n+|x|-|y|}{2}} \cdot \frac{1}{4^n} &\quad \mbox{per n+x+y pari} \\ 0&\quad \mbox{per n+x+y dispari} \\ 0&\quad \mbox{per}\;\; |x|+|y|>n \end{cases}\]

Ad esempio per n=

In particolare la posizione iniziale è raggiunta, solo dopo un numero pari $2n$ di passi, con probabilità $$\Big(\binom{2n}{n}\Big)^2 \cdot \frac{1}{4^{2n}}.$$
Con l'approssimazone di Stirling $n! \sim \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}$, si ottiene $\Big(\binom{2n}{n}\Big)^2 \cdot \frac{1}{4^{2n}}\sim \Big(\frac{\sqrt{2 \pi 2n} \; \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}}{\sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}\sqrt{2 \pi (2n-n)} \; \left(\frac{2n-n}{e}\right)^{2n-n}}\Big)^2\cdot \frac{1}{4^{2n}}=\frac{1}{\pi n}, \quad \text{per } n \to +\infty$

Sorprendentemente, in una passeggiata aleatoria, sia unidimensionale sia bidimensionale, è unitaria la probabilità di raggiungere qualsiasi punto, incluso il punto di partenza, quando il numero di passi si avvicina all'infinito.
Infatti se probabilità di ritornare alla posizione iniziale dopo $2n$ passi è, quando $n$ è grande, circa $\frac{1}{\pi n}$, allora $\sum_{n}\frac{1}{\pi n}=\infty$ e ciò mostra che una passeggiata di lunghezza infinita torna certamente infinite volte al punto iniziale.

Non è così ad esempio per le passeggiate aleatorie tridimensionali, per le quali tale probabilità vale 0.3405373296..... Si veda in proposito Pólya's Random Walk Constants su Wolfram-MathWorld.

Interessante è anche considerare che il numero dei punti raggiunti all'interno della regione esplorata in $n$ passi è $n^{\frac{dim}{2}}$ a seconda della dimensione 1, 2 o 3; inoltre il numero dei punti distinti visitati all'interno della regione esplorata in $n$ passi è $\sqrt\frac{8n}{\pi}$, $\frac{\pi n}{\log 8n}$ e $\approx 0.66 n$ all'aumentare delle dimensioni.

Poiché
$\displaystyle\overline {X_n^2+Y_n^2}= \overline {\left(\sum_{i=1}^n\Delta X_i\right)^2+\left(\sum_{i=1}^n\Delta Y_i\right)^2}= \overline {\sum_{i=1}^n(\Delta X_i^2+\Delta Y_i^2)}+ \overline {\sum_{i\not=j}\cdots}=n + 0$
si può calcolare che la distanza media è $\sqrt{n}$.