Passeggiata in una direzione

Immaginiamo ora che l’ubriaco si muova in un verso oppure in quello opposto, con diversa probabilità ma sempre a passo costante. Per giustificare la situazione potremmo immaginare che il percorso sia in pendenza o che l'ubriaco abbia una certa consapevolezza del verso da seguire per il bar più vicino o per fare ritorno a casa. In sostanza supporremo che l'ubriaco, anziché indifferente, preferisca con probabilià $p$ seguire il verso positivo e quindi segua con probabilità $q=1-p$ il verso negativo.

Con javascript potremmo servirci dell'espressione

(Math.random()<p)? 1: -1

per effettuare la scelta.

Siano ad esempio i passi da compiere.

Ogni volta, dopo ogni passo la scelta casuale è andare nel verso che considereremo positivo, +1, con probabilità p= oppure nel verso opposto, – 1, ovviamente con probabilità q=1-0.4.

Potremmo dunque ottenere la sequenza di scelte

e quindi alla sequenza di posizioni che rappresenta in buona sostanza la legge oraria del moto.

il cui grafico è

La posizione raggiunta dopo $n$ passi è ancora una variabile casuale $X_n$ che assume i valori $2k-n$ con $k=0,1,2,...,n$.

Possiamo vederla come la variabile $2\mathrm{B}-n$ dove $\mathrm{B}$ è una binomiale, cioè la somma di variabili aleatorie elementari di tipo successo/insuccesso, la cui distribuzione di probabilità è $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, ovvero $p(X_n=x)=\binom{n}{\frac{n+|x|}{2}}p^\frac{n+|x|}{2}(1-p)^{\frac{n-|x|}{2}}$ quando $|x|\le n$ e $n+x$ è pari, altrimenti nulla.
Poiché $np$ è il valore medio di $\mathrm{B}$ allora $\overline x=2np-n=n(p-q)$ è la posizione media raggiunta nel moto dell'ubriaco. Inoltre la varianza $\sigma^2=4np(1-p)$.
Per grandi valori di $n$ il teorema del limite centrale afferma che la probabilità di raggiungere la posizione $x$ si può approssimare con una gaussiana $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\overline x)^2}{2\sigma^2}}$

La distribuzione di probabilità si può ottenere

var lst=[1]
for (var k=0; k<n; k++)
  lst=[0,...lst].map((x, i) => x*(1-p)) + [...lst,0][i]*p)

Per rappresentare graficamente con un istogramma la distribuzione teorica delle probabilità in una passeggiata di 4 passi