Un altro metodo generale con cui affrontare l'analisi di una passeggiata casuale fa uso del concetto di funzione caratteristica.
Se $X$ è una variabile casuale discreta con distribuzione $p_{X}$ e $t$ è un numero reale, se con $\operatorname {E}$ si indica il valore atteso, la funzione caratteristica di $X$ è definita come
\[\displaystyle \phi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{itX}\right)=\sum _{x=-\infty }^{+\infty }p_{X}(x)\,e^{itx}.\]
Se $X$ è una variabile casuale continua il simbolo di sommatoria sarà sostituito da quello di integrale.
Se $X=(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ è una variabile casuale vettoriale, si può considerare l'argomento
$t$ come vettore $t=(t_1,t_2,\cdots,t_n)$ e ${\displaystyle tX=t_1X1+t_2X_2+\cdots+t_nX_n}$ il prodotto scalare.
Nel nostro più semplice caso di passeggiata unidimensionale, quando $X$ indichi il passo iniziale e quindi \[p_X(x)=\begin{cases} \frac{1}{2} &\mbox{per}\quad x^2=1\\0 &\mbox{altrimenti} \end{cases}\] avremo che \[\displaystyle \phi _{X}(t)=\frac{e^{-it}+e^{it}}{2}=cos(t).\]
Dalla funzione caratteristica si può ritornare alla distribuzione \[\displaystyle p_{X}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-itx}\phi _{X}(t)\,dt.\] La funzione caratteristica di una v.a. è strettamente legata alla trasformata di Fourier: è proporzionale alla trasformata di Fourier inversa della distribuzione di probabilità nel caso discreto, della funzione di densità nel caso continuo. Se una variabile casuale ammette una funzione di densità, allora la funzione caratteristica è la sua duale: ciascuna di esse è una trasformata di Fourier dell'altra.
Una prima utilità della funzione caratteristica nello studio delle variabili aleatorie è di fornire i suoi momenti. A condizione che il momento n-esimo esista, la funzione caratteristica può essere derivata n volte e \[\operatorname {E}\left(X^{n}\right)=(-i)^{n}\,\phi _{X}^{{(n)}}(0)=(-i)^{n}\,{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\phi _{X}(t)\Big /_{t=0}.\]
Di più, questo metodo è particolarmente utile nel trattare funzioni di variabili aleatorie indipendenti ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$
Se $a_{i}$ sono costanti, allora
\[\displaystyle Y=\sum _{{i=1}}^{n}a_{i}X_{i} \implies \phi _{Y}(t)=\prod _{i=1}^{n}\phi _{X_{i}}(a_{i}t).\]
Nel caso della v.a. $X_n$ passeggiata casuale di $n$ passi la variabile, poichè $\displaystyle X_n=X_{n-1}+X=\sum_{i=1}^nX$ allora $\displaystyle \phi_{X_n}(t)=\left(\frac{e^{-it}+e^{it}}{2}\right)^n=cos^n(t)$.
Quindi \[\displaystyle p(X_n=x)=p_{X_n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-itx}\cos^n(t)\,dt=\] \[\displaystyle =\frac {1}{2\pi }\int _{-\pi }^{+\pi}cos(xt)\cos^n(t)\,dt=\frac{1}{2^{n+1}}\left(1+(-1)^{n+x}\right)\left(n \atop \frac{n+x}{2}\right).\] che è un risultato ottenibile prendendo $e^{ixt} = \cos(xt) + i \sin(xt)$ e notando che l'integrale contenente il termine seno svanisce.