Passeggiata in una direzione

Si potrebbe anche considerare la possibilità che ogni passo sia influenzato dal passo precedente, ad esempio che con probabilià $p$ si proceda in quello stesso verso.

var v=[(Math.random()<0.5)? 1: -1];
for (var i=0; i<n; i++)
	v.push((Math.random()<p)? v[i]: -v[i]);

Una passeggiata casuale orientata al centro è ad esempio tale che quando ci si trova in posizione $x$ la probabilità di andare in $x+1$ è ${\displaystyle p_{+}={\dfrac {1}{2}}-{\dfrac {1}{2}}\left({\dfrac {x}{c+|x|}}\right)}$ e invece ${\displaystyle p_{-}=1-p_{+}}$ quella di muovere in $x-1$.

var x=[0];
for (var i=0; i<n; i++)
	x.push((Math.random()<(1-x[i]/(c+Math.abs(x[i])))/2)? x[i]+1: x[i]-1);

Un'altra variazione della passeggiata casuale potrebbe essere considerando che il passo iniziale sia 1/2 e poi dopo ogni scelta casuale del verso si dimezzi.

Allora, poiché il passo i-esimo è $\frac{2\delta_i-1}{2^i}$ con $\delta_i \in \{0,1\}$, la posizione raggiunta in $n$ passi è $\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac{2\delta_i-1}{2^i}$ ovvero $\displaystyle 2\sum_{i=1}^{n}\frac{\delta_i}{2^i}-\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2^i}= 2\sum_{i=1}^{n}\frac{\delta_i}{2^i}-\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)$ dove $\displaystyle 0\le\sum_{i=1}^{n}\frac{\delta_{i}}{2^i}=0.\delta_1\delta_2\dots\delta_{n}\le 1-\left(\frac{1}{2}\right)^n$ è un numero binario decimale finito. Quindi la posizione raggiunta è il punto simmetrico di $1-\left(\frac{1}{2}\right)^n$ rispetto a $=0.\delta_1\delta_2\dots\delta_{n}$.
La posizione raggiunta si può anche determinare come $\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac{2\delta_i-1}{2^i}=\sum_{j=0}^{n-1}\frac{\delta_{j+1}}{2^j}-1+\left(\frac{1}{2}\right)^n=0.\delta_1\delta_2\dots\delta_{n}1-1$.

Sia n= il numero dei passi da compiere, il cui grafico della legge oraria è:

I valori di $X_{2n}$ sono $\frac{2i}{2^{2n}}$ mentre di $X_{2n-1}$ sono $\frac{2i-1}{2^{2n}}$.

Abbastanza evidente che la variabile aleatoria che ha per valori le posizione finali segue una distribuzione uniforme.

Altre variazioni interessanti relative a passeggiate casuali unidimensionali:

che avvenga in un vicolo cieco con una posizione massima e una posizione minima possibili, raggiunte le quali l’ubriaco è costretto a fare un passo indietro;
rappresentare il classico problema dei giochi d'azzardo, quello della rovina del giocatore, per valutare la probabilità che un giocatore, iniziando a giocare con una certa somma iniziale si trovi senza soldi ad un certo punto del gioco e quindi non possa più tentare la fortuna per rifarsi; ovvero nella avere un burrone in una certa posizione a interrompere la passeggiata casuale;
considerare la v.c. che esprime il numero decimale corrispondente a quello binario $c_1c_2...c_n$ di n delle cifre ottenute nell’ordine dalle estrazioni casuali di uno 0 o un 1; oppure il numero decimale corrispondente a $0.c_1c_2...c_n$;
simulanre l’andamento di un titolo in borsa che possa variare al massimo di 3 punti, le cui variazioni nella prima settimana siano del tutto casuali mentre nelle settimane seguenti l’andamento è influenzato dall’andamento della settimana precedente, ad esempio la probabilità di variare di x sarà pesata con la frequenza con cui la variazione x è avvenuta nella settimana precedente.