Accenniamo brevemente a un'altra differenza fondamentale tra calcolo stocastico e deterministico. Nel caso deterministico, se $\frac{dX}{dt} = f(X)$, allora, per qualsiasi funzione liscia $V$, la regola della catena, cioè della derivata di funzione di funzione, afferma che \[\frac{dV(X(t))}{dt} = \frac{dV(X(t))}{dX} \frac{dX(t)}{dt} = \frac{dV(X(t))}{dX}f(X(t))\] Supponiamo ora che $X$ soddisfi l'equazione differenziale standard di Itô $$dX(t) = f(X(t))dt + g(X(t))dW(t).$$ Qual è l'equazione differenziale standard analoga alla precedente per $V(X)$? Un'ipotesi ragionevole è $dV = \frac{dV}{dX}dX$, quindi \[dV(X(t)) = \frac{dV(X(t))}{dX}\left(f(X(t))dt + g(X(t))dW(t)\right) \] Tuttavia, un'analisi rigorosa che utilizza il risultato di Itô rivela che emerge un termine aggiuntivo e la formulazione corretta è \[dV(X(t)) = \frac{dV(X(t))}{dX}dX(t)+\frac{1}{2}g^2(X(t))\frac{d^2V(X(t))}{dX^2}dt\] che diventa \[dV(X(t)) = \left(f(X(t))\frac{dV(X(t))}{dX}+\frac{1}{2}g^2(X(t))\frac{d^2V(X(t))}{dX^2}\right)dt+g(X(t))\frac{dV(X(t))}{dX}dW(t)\] Anziché tentare di giustificare o addirittura di dimostrare, eseguiremo un esperimento numerico.

Consideriamo la SDE del processo di Cox-Ingersoll-Ross (CIR), un processo di radice quadrata con ritorno alla media che modella i prezzi delle attività. \[dX(t) = (\alpha- X(t))dt + \beta \sqrt{X(t)}dW(t), X(0) = X_0,\] con i parametri $\alpha$, tasso di mean-reversion (livello di lungo periodo), e $\beta$, volatilità (intensità del rumore), che sono costanti positive. Si può dimostrare che se $X(0) > 0$ con probabilità 1, allora questa positività viene mantenuta per ogni $t > 0$.
Prendendo $V(X) = \sqrt X$ e applicando la precedente relazione si ha \[dV(t) = \left(\frac{4\alpha-\beta^2}{8V(t)}-\frac{1}{2}V(t)\right)dt+\frac{1}{2}\beta dW(t)\]