Diffusione in un Reticolo e Percolazione

La diffusione di una particella in un reticolo è uno degli esempi storici e concettuali fondamentali di passeggiata casuale (random walk).
Casi specifici di passeggiata casuale avvengono in reticoli con difetti, quando la particella non potrà muoversi in qualunque direzione, oppure il reticolo ha barriere, riflettente o assorbente, o in reticoli disordinati in cui la probabilità di muoversi da un punto all'altro può dipendere dal punto stesso.
Simuleremo il caso di un reticolo disseminato di punti che costituiscono ostacoli per il movimento casuale di una particella.

Un reticolo è una griglia \(N \times N\) di celle: libere con probabilità \(p\) e visualizzate in chiaro, bloccate con probabilità \(1-p\) e visualizzate in scuro come ostacoli.
Una particella (o molte particelle) segue un moto casuale (random walk vincolato) all'interno del reticolo. Si ha percolazione quando esiste un cammino che attraversa il reticolo.
Ad esempio esiste un cammino di celle libere che collega il bordo superiore al bordo inferiore quando:

• partendo da tutte le celle libere del bordo superiore,
• visitando in ampiezza (BFS) o profondità (DFS) solo attraverso celle libere,
• si raggiunge il bordo inferiore.

Una stima empirica della probabilità di percolazione: \[ \hat{P}_{\text{perc}}(p) = \frac{\text{numero di reticoli percolanti}}{\text{numero di prove}} \] (anche solo 50–100 prove per valore di \(p\), magari precalcolate o accumulate nel tempo).