Area del cerchio e \(\pi\)

Consideriamo il quadrato di lato 1, con vertici (0,0), (1,0), (1,1), (0,1), e il quarto di cerchio di raggio 1 centrato in (0,0), contenuto nel quadrato.

L’area del quadrato è 1. L’area del cerchio di raggio 1 è \(\pi\) , quindi l’area del quarto di cerchio è \(\frac{π}{4}.\)

Estraendo punti in modo uniforme nel quadrato [0,1]×[0,1], la probabilità che un punto cada dentro il quarto di cerchio è:

\[P(\text{punto dentro}) = \frac{\text{area quarto di cerchio}}{\text{area quadrato}} = \frac{\frac{π}{4}}{1} = \frac{π}{4}.\]

Se generiamo \(N\) punti e ne contiamo \(M\) dentro il quarto di cerchio, ci aspettiamo:

\[\frac{M }{ N} ≈ \frac{π}{4} \implies π ≈ 4 · \frac{M}{N}.\]

L'algoritmo è dunque il seguente.

• Sia il contatore \(M\) inizialmente 0;
• per \(i = 1, 2, \dots, N:\)
  • estrarre un punto \((x, y)\) con \(x, y\) uniformi in [0,1];
  • se \(x² + y² ≤ 1\) (punto dentro il quarto di cerchio) incrementare il contatore \(M;\)
• il valore \(4 ·\frac {M} {N}\) è una stima di \(\pi.\)

All’aumentare di \(N\), per la legge dei grandi numeri, il valore stimato tende a \(\pi.\) Tuttavia, la convergenza è lenta: l’errore tipico decresce come \(\frac{1}{\sqrt N}.\)

Nella pagina di copertina si ha una visualizzazione del metodo. I punti vengono generati uno o più alla volta e la stima di \(\pi\) viene aggiornata in tempo reale.

Stimando volte \(\pi\) con Monte Carlo attraverso estrazioni si ottiene la distribuzione evidenziata dall'istogramma seguente che viene messo a confronto con la distribuzione normale con media \(\pi\) e scarto \(\frac{1}{\sqrt N}.\)

Volume di ipersfere

Il metodo descritto sopra per determinare sia \(\pi\) sia l'area del cerchio unitario si può applicare anche per determinare il volume di una sfera o di una ipersfera.

• Sia \(n\) la dimensione dello spazio;
• sia il contatore \(M\) inizialmente 0;
• per \(i = 1, 2, \dots, N:\)
  • estrarre un punto \((x_1, x_2,\dots,x_n)\) con \(x_i\) uniformi in [-1,1];
  • se \(\sum_ix_i^2 ≤ 1\) (punto dentro l'ipersfera) incrementa il contatore \(M\);
• il valore \(\frac {M} {N}2^n\) è una stima del volume dell'ipersfera unitaria.

Possiamo dunque simulare per uno spazio a \(n =\) dimensioni il calcolo approssimato del volume dell'ipersfera unitaria mediante il metodo di Monte Carlo ripetendo estrazioni casuali di punti nell'ipercubo \([-1,1]^n.\) Si ottiene 5.44.

Il volume dell’ipersfera unitaria in dimensione \(n\), uno dei risultati più eleganti dell’analisi, è:

dove \(\Gamma\) è la funzione Gamma, che generalizza il fattoriale: \[ \Gamma(k+1) = k! \quad \text{per } k \in \mathbb{N}. \] Per dimensioni basse

n	1	2	3	4	5
Volume	2	\(\pi\)	\( \frac{4}{3}\pi\)	\(\frac{\pi^2}{2}\)	\(\frac{8\pi^2}{15}\)

Il risultato sorprendente, poiché il denominatore \(\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)\) tende a infinito molto più velocemente del numeratore \(\pi^\frac{n}{2}\), è che \[\displaystyle\lim_{n \to \infty}V_n =0.\] Intuitivamente, in dimensioni alte, quasi tutto il volume del cubo \([-1,1]^n\) è lontanissimo dall’origine e l'ipersfera occupa una frazione sempre più piccola del cubo.
Di conseguenza il metodo Monte Carlo diventa inefficiente per grandi \(n\) poiché serve un numero enorme di punti per “vedere” la sfera.