Simulare varie Leggi del Caso

Gli esempi precedenti si possono basare su eventi casuali "analogici", come il lancio di aghi o di molte freccette su un tabellone rettangolare, la cui ripetizione richiede comunque troppo tempo per rendere efficiente il metodo che ne richiede un grande numero. Con gli strumenti informatici, in grado di fornire molto rapidamente numerosissime ripetizioni, occorre presupporre del resto la capacità di costruire eventi davvero casuali.
In particolare si deve presupporre la capacità di estrarre un numero in un intervallo di numeri naturali equiprobabili o di estrarre allo stesso modo, cioè secondo una distribuzione uniforme, un numero "reale" compreso tra 0 e 1.

Quando è possibile anche solo estrarre un numero realmente equiprobabile in \(\{ 0, 1\}\), come sembrerebbe possibile usando ad esempio

• la rilevazione dei millisecondi dell'orologio interno
  0: 0, 1: 0
• l'entropia del sistema operativo (rumore hardware, timing di interrupt, ecc.); il metodo crypto.getRandomValues() attinge a questa riserva di vera casualità accumulata dal sistema;
  0: 0, 1: 0

si apre la possibilità di costruire liste \(d_1,d_2,\dots,d_n\) di 0 e 1 sulla base dei quali ad esempio ottenere numeri equicasuali \(0.d_1d_2\dots,d_n\).

Tuttavia si ricorre a metodi più sofisticati, implementati in ogni linguaggio di programmazione, per produrre numeri pseudocasuali, cioè generati da algoritmi deterministici che simulano la casualità. In particolare in JavaScript la function Math.random() produce numeri "reali" pseudocasuali dell'intervallo [0, 1[.

Il metodo dell'inversione della funzione di ripartizione, o della CDF (Cumulative Distribution Function), è una tecnica che, a partire da una distribuzione uniforme [0, 1[, permette di generare numeri casuali (campionamento) che seguano una specifica distribuzione di probabilità.

Variabili aleatorie discrete

Dalla distribuzione uniforme su [0,1[ si possono simulare variabili aleatorie \(X\) discrete con valori \([x_1,x_2,\dots,x_n]\) date le probabilità \([p_1,p_2,\dots,p_n]\), con \(\sum_i p_i=1:\) \[ \sum_{i=1}^k p_i\le \text{Math.random()} \lt\sum_{i=k+1}^n p_i \implies X=x_k\]

Una variabile aleatoria discreta come oggetto JavaScript, ad esempio:

Variabili aleatorie continue

Considerando una variabile aleatoria a valori compresi tra 0 e 1, dovrà essere nota la funzione di ripartizione F(x), non decrescente su [0,1], con F(0)=0 e F(1)=1

Somma di variabili aleatorie

Consideriamo la variabile \(X\) con valori \(\{0,1\}\) e probabilità \(p\), cioè la variabile di Bernoulli, oppure con valori tra 0 e 1 e distribuzione uniforme.
Consideriamo poi la somma \[ S_n = \sum_{i=0}^n X \] e infine la somma normalizzata che centra la somma attorno a 0 e scala la dispersione a 1: \[ Z_n = \frac{S_n - \mathbb{E}[S_n]}{\sqrt{\mathrm{Var}(S_n)}} \]

Ogni variabile contribuisce con un “pezzetto” di variabilità e quando se ne sommano molte:

• gli effetti specifici della distribuzione si cancellano,
• resta solo la combinazione di tanti contributi piccoli,
• questa combinazione ha forma gaussiana.

È lo stesso motivo per cui:

• gli errori di misura sono gaussiani,
• le fluttuazioni termiche sono gaussiane,
• la diffusione è gaussiana.

Il Teorema del Limite Centrale non vale per distribuzioni con varianza infinita (es. Pareto con \(\alpha < 2\)), appare una stable distribution (Lévy)