Code

L'analisi delle file d'attesa produce risultati di natura probabilistica piuttosto che deterministica: la probabilità che \(n\) clienti si trovino nel sistema di accodamento, il numero medio di clienti nel sistema di accodamento, il numero medio di clienti nella fila d'attesa, il tempo medio trascorso da un cliente nel sistema di accodamento complessivo, il tempo medio trascorso da un cliente nella fila d'attesa e, infine, la probabilità che il server sia occupato o inattivo.
Obiettivo generale dell'analisi delle code è calcolare queste caratteristiche per il sistema attuale e poi testare diverse alternative che potrebbero portare a un miglioramento.

Una coda M/M/1, dove la M indica un processo di Markov, è un modello semplice in cui un singolo server gestisce i clienti o i lavori che arrivano secondo un processo di Poisson e hanno tempi di servizio distribuiti in modo esponenziale.

Per simulare il numero di arrivi nell'unità di tempo a uno sportello o un server secondo la distribuzione di Poisson, un semplice metodo per estrazioni casuali può essere derivata dal fatto che gli intervalli tra arrivi consecutivi in un tale processo sono esponenziali, diciamo con parametro λ, e il numero degli intervalli fino a superare 1 è il numero di eventi nel tempo 1.

Il numero medio di arrivi nell'unità di tempo è λ.

Il metodo Monte Carlo permette di esplorare la dinamica di una coda M/M/1. Nella simulazione che segue, considerando arrivi Poisson con intensità λ e servizi esponenziali con parametro μ, si possono osservare:

• più traiettorie della lunghezza della coda nel tempo;
• l’istogramma dei tempi in sistema dei clienti serviti;
• la stima Monte Carlo del tempo medio in sistema;
• il confronto con la formula teorica \(\frac{1}{μ − λ}.\)

Se \(n\) è il numero di clienti nel sistema, \( {\displaystyle P_{n}}\) la probabilità che nel sistema vi siano \(n\) clienti in regime stazionario, \({\displaystyle E_{n}}\) il numero di volte in cui il sistema entra nello stato \(n\) e \({\displaystyle L_{n}}\) il numero di volte in cui il sistema esce dallo stato \(n\), allora il numero di volte in cui il sistema esce da uno stato differisce al massimo di 1 dal numero di volte in cui entra in quello stato, poiché o tornerà in quello stato in un momento futuro e quindi \({\displaystyle E_{n}=L_{n}}\) oppure no, quando la catena di stati inizia o finisce in \(n\), e quindi \( {\displaystyle \left\vert E_{n}-L_{n}\right\vert =1}.\)
Quando il sistema raggiunge uno stato stazionario, per una legge di conservazione per le code che, in media, ciò che entra deve uscire, il tasso di arrivo dovrebbe essere uguale al tasso di partenza: \[{\displaystyle \mu P_{n}=\lambda P_{n-1} \implies P_{n}=\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^n P_{0}}\] Il fatto che \({\displaystyle P_{0}+P_{1}+\cdots =1}\) ovvero \({\displaystyle P_{0}+\frac{\lambda}{\mu} P_{0}+\cdots+\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^n P_{0} +\dots =1}\) porta a \(P_0 = 1-\frac{\lambda}{\mu}\) e infine alla formula della distribuzione geometrica \[{\displaystyle P_{n}=\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^n(1-\frac{\lambda}{\mu} )}.\] Da qui possiamo ricavarne anche il numero medio di clienti nel sistema: \[\sum_n nP_n=\sum_nn(1-\frac{\lambda}{\mu} )\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^n = \frac{\frac{\lambda}{\mu}}{1-\frac{\lambda}{\mu}}=\frac{\lambda}{\mu-\lambda}.\] Dalla Legge di Little, universale per qualsiasi sistema a code in regime stazionario: \[\text{numero medio di clienti} = \lambda\cdot\text{tempo medio nel sistema}\] si ricava \[\text{tempo medio nel sistema}=\frac{1}{\mu-\lambda}.\]