Introduzione Ago di Buffon Sfere Integrali Casualità Previsioni Diffusione Percolazione Catene di Markov Derivati Code

 

Ago di Buffon e approssimazione di π

Se lanciamo in modo casuale un ago di lunghezza \(L\) su un piano rigato da linee parallele distanziate di \(d\ge L\), la probabilità che l’ago intersechi una linea è

\[p = \frac{2L}{π d}\]
e ovviamente \[p≈ \frac{\text{numero intersezioni}}{\text{numero lanci}}\] Quando \(L = d\) e quindi \(p = \frac{2}{π}\) allora
\[π = \frac{2}{p} ≈2 · \frac{\text{numero lanci}}{\text{numero intersezioni}}.\]

Lanci: 0 Intersezioni: 0 π ≈ –

All’aumentare del numero di lanci, la stima tende lentamente al valore reale di π.

Cordicella di Buffon

Una variante meno nota dell’ago è quella della cordicella flessibile lanciata sul piano rigato.

Se \(𝐶\) è una curva qualsiasi di lunghezza \(𝐿\) su un piano rigato da linee parallele distanti \(𝑑\ge L\) allora, sorprendentemente, la probabilità che \(𝐶\) intersechi almeno una linea è ancora

\[p= \frac{2𝐿}{𝜋𝑑}.\]
La forma della curva non conta, conta solo la lunghezza totale.
Cuore del risultato è un principio della geometria integrale, una formula di Crofton ante litteram:
La lunghezza media della proiezione su una linea retta di una curva casualmente orientata è \(\frac{2}{\pi}\) volte la lunghezza della curva. La probabilità di intersecare una linea del piano rigato è equivalente alla probabilità che la sua proiezione superi la distanza tra le linee.

L = d =
N = "complessità" della forma della cordicella

oppure

Lanci totaliIntersezioniFrequenza PValore teorico PStima π
000 00
Riferimenti sito/bibliografici: