Data una serie storica, come ad esempio il prezzo di un prodotto finanziario, si possono fare previsioni basandosi ad esempio sulla distribuzione dello storico delle variazioni in ogni unità temporale. Da numerose previsioni si può infine ricavare una media nonchè informazioni sulla imprecisione di questa media.
Le variazioni del valore della serie nell'unità di tempo sono mostrate nell'istogramma seguente.
Per un’azione senza dividendi, nel mondo risk–neutral il prezzo \(S_t\) si può dire che segue un moto browniano geometrico:
\[
dS_t = r S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t
\]
dove \({\displaystyle \ W_{t}}\) è un processo di Wiener, o moto browniano standard, \({\displaystyle \ \mu }\) è il drift percentuale istantaneo costante, tasso di crescita medio del prezzo dell’asset. e \({\displaystyle \ \sigma }\) è la volatilità percentuale istantanea costante, misura della forza delle fluttuazioni statistiche dei prezzi.
La soluzione esatta ha forma:
\[
S_T = S_0 \exp\Big[\Big(\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2\Big)T + \sigma \sqrt{T}\,Z\Big], \quad Z \sim \mathcal{N}(0,1)
\]
dove \(S_0\) è il prezzo iniziale e \(T\) la scadenza. \(Z\) è la componente stocastica, una variabile aleatoria normale standardizzata, per cui potremo simulare un certo numero di previsioni possibili per \(S_T.\)
Valutiamo ancora i valori finali di \(S_T\) dopo simulazioni con \(S_0=100\)
dopo \(T =\) con un tasso risk-free \(r =\) e volatilità \(\sigma =\)