Modello epidemiologico SIR su rete con random walk

Il modello SIR è uno dei modelli compartimentali più semplici dal quale molti altri modelli sono derivati. La popolazione \(N\) costante nel tempo è suddivisa in suscettibili \(S\), infetti \(I\) e immunizzati o deceduti \(R\) in modo che \({\displaystyle N=I(t)+S(t)+R(t).}\)
Questo modello è ragionevolmente predittivo per le malattie infettive che vengono trasmesse da uomo a uomo e in cui il recupero conferisce resistenza duratura, come il morbillo, la parotite e la rosolia.

Il modello SIR classico è deterministico: \[ \begin{cases} S' = -\beta S I \\ I' = \beta S I - \gamma I \\ R' = \gamma I \end{cases} \] Con gli stessi parametri si ottengono sempre le stessa curve. Nella realtà invece:

• i contagi sono eventi discreti,
• gli incontri sono casuali,
• le epidemie reali non seguono una curva liscia,
• due epidemie identiche nei parametri possono avere esiti diversi.

Il metodo Monte Carlo consente di introdurre questa variabilità.
In un piccolo intervallo di tempo Δt:

• un suscettibile diventa infetto con probabilità \[ p_{\text{inf}} = \beta I \Delta t \]
• un infetto guarisce con probabilità \[ p_{\text{rec}} = \gamma \Delta t \]

1. per ogni suscettibile S:
   • estrai un numero casuale \(u\sim U(0,1)\)
   • se \(u < p_{\text{inf}}\), diventa infetto
2. per ogni infetto I:
   • estrai un numero casuale \(u\sim U(0,1)\)
   • se \(u < p_{\text{rec}}\), guarisce.

Ogni simulazione Monte Carlo produce una possibile storia dell’epidemia.
Ripetendo N volte la simulazione si ottiene un ventaglio di curve S(t), I(t), R(t) da cu estrarre:

• media di S(t), I(t), R(t),
• intervalli di fiducia (confidence interval) IC,
• probabilità che il picco superi una certa soglia,
• distribuzione del tempo del picco,
• probabilità di estinzione precoce.

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