Rischio finanziario

La finanza quantitativa, nell'illusione di poter trovare precisione in un mondo fondamentalmente incerto, si affida a parametri - volatilità, correlazioni, probabilità di default, code delle distribuzioni, ... - da stimare sulla base di dati storici. Tuttavia i mercati cambiano: la distribuzione dei rendimenti di oggi non è uguale a quella di ieri, i dati passati sono pochi e rumorosi, il futuro non rispecchia il passato come evidenziato dalle crisi e le stime classiche ignorano completamente l'incertezza sul parametro stimato, incertezza che conta di più proprio quando i mercati sono in stress.
Di fronte alla difficoltà di ottenere stime più accurate, all'indisponibilità di più dati o di gestire modelli più complessi con più parametri, ma il bayesianesimo propone un cambiamento filosofico:

• accettare l'incertezza come caratteristica intrinseca, non come imperfezione da eliminare;
• passare da stime puntuali a distribuzioni (approccio bayesiano);
• test di robustezza su scenari plausibili, non solo su dati storici;
• stress testing come parte integrante, non come esercizio di conformità.

• volatilità, dove il prior può incorporare la mean-reversion, cioè la velocità di aggiustamento del prezzo spot a tornare a dei livelli di lungo termine, tipica dei mercati;
• Value at Risk (VaR), la massima perdita potenziale di valore di un portafoglio di investimenti in un periodo definito con un dato livello di confidenza, in genere 95% o 99%, dove l'incertezza sul posterior si propaga alle stime di rischio;
• detection di regime, per capire se il mercato è tranquillo o turbolento, e aggiornare quella credenza in tempo reale.

Il caso più naturale è quello della volatilità dei prezzi. Con approccio classico si determina come deviazione standard dello storico dei rendimenti su una finestra rolling, il che produce stime instabili con pochi dati e non quantifica l'incertezza della stima stessa.
L'approccio bayesiano modella la varianza \(σ²\) con un prior, tipicamente una distribuzione Inverse-Gamma \(\text{IG}(\alpha ,\beta )\) che ha densità di probabilità \[{\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}(1/x)^{\alpha +1}\exp \left(-\beta /x\right)},\] dove α controlla la forma e l'incertezza della distribuzione mentre β controlla la scala (posizione), che ha media \(\frac{β}{α−1}\) e varianza a \(\frac{β^2}{(α−1)^2(α−2)}\) ed è coniugata alla likelihood gaussiana dei rendimenti, ovvero la distribuzione a posteriori che si ottiene di conseguenza appartiene alla stessa famiglia della prior. Inoltre il posterior avrà parametri \[α' = α+\frac{n}{2},\quad β'=β+\frac12\sum_{i=1}^n (r_i-\mu)^2.\] In particolare per un nuovo rendimento \(r_{n+1}\) si avrà \(\alpha' \to \alpha + 1/2, \quad \beta' \to \beta + r_{n+1}^2/2 .\)
Da questa distribuzione ricaviamo che la volatilità non è solo un X% ma anche quanto probabilmente è tra Y% e Z%.
La distribuzione predittiva sui rendimenti futuri è di conseguenza una \(t\) di Student, con code più pesanti della gaussiana, riflettendo l'incertezza sul parametro σ. Questo è uno dei meccanismi bayesiani che genera code spesse in modo naturale, senza bisogno di ipotizzarle a priori.
Infatti dopo aver osservato \(n\) rendimenti la distribuzione di un rendimento futuro \(r_{n+1},\) integrando via l'incertezza su \(\sigma^2:\) $$p(r_{n+1} \mid r_{1:n}) = \int_0^\infty p(r_{n+1} \mid \sigma^2)\, p(\sigma^2 \mid r_{1:n})\, d\sigma^2$$ Dopo l'aggiornamento bayesiano sappiamo che: $$r_{n+1} \mid \sigma^2 \sim \mathcal{N}(\mu,\, \sigma^2), \qquad \sigma^2 \mid r_{1:n} \sim \text{IG}(\alpha', \beta')$$ L'integrale diventa: $$p(r_{n+1} \mid r_{1:n}) \propto \int_0^\infty (\sigma^2)^{-1/2} \exp\!\left(-\frac{(r_{n+1}-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) \cdot (\sigma^2)^{-\alpha'-1} \exp\!\left(-\frac{\beta'}{\sigma^2}\right) d\sigma^2$$ $$= \int_0^\infty (\sigma^2)^{-(\alpha' + \frac{1}{2}) - 1} \exp\!\left(-\frac{\beta' + \frac{(r_{n+1}-\mu)^2}{2}}{\sigma^2}\right) d\sigma^2$$ L'integrando è la kernel di una \(\text{IG}\!\left(\alpha' + \tfrac{1}{2},\; \beta' + \tfrac{(r_{n+1}-\mu)^2}{2}\right),\) la cui costante di normalizzazione è nota: $$\int_0^\infty (\sigma^2)^{-a-1} e^{-b/\sigma^2}\, d\sigma^2 = \frac{\Gamma(a)}{b^a}$$ Quindi: $$p(r_{n+1} \mid r_{1:n}) \propto \frac{\Gamma(\alpha' + \frac{1}{2})}{\left(\beta' + \frac{(r_{n+1}-\mu)^2}{2}\right)^{\alpha' + \frac{1}{2}}}\propto \left(1 + \frac{(r_{n+1}-\mu)^2}{2\beta'}\right)^{-\left(\alpha' + \frac{1}{2}\right)}$$ Ricordando la forma standard della \(t\) di Student con \(\nu\) gradi di libertà e scala \(s:\) $$p(x) \propto \left(1 + \frac{(x - \mu)^2}{\nu s^2}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$$ confrontando i due esponenti e i denominatori si identificano immediatamente: $$\boxed{\nu = 2\alpha', \qquad s^2 = \frac{\beta'}{\alpha'}}$$ Quindi: $$r_{n+1} \mid r_{1:n} \;\sim\; t_{2\alpha'}\!\left(\mu,\; \frac{\beta'}{\alpha'}\right)$$ Sostituendo \(\alpha' = \alpha + n/2,\;\; \beta' = \beta + S/2:\) $$\nu = 2\alpha + n, \qquad s^2 = \frac{\beta + S/2}{\alpha + n/2}$$ Il parametro di scala \(s^2\) è una media pesata tra la credenza a priori \(\beta/\alpha\) e la varianza campionaria \(S/n.\) Con \(n\) grande, \(s^2 \to S/n = \hat{\sigma}^2\) e \(\nu \to \infty:\) la \(t\) converge alla gaussiana — l'incertezza su \(\sigma^2\) svanisce.
La gaussiana ha code che decadono come \(e^{-x^2/2}.\) La \(t\) con \(\nu\) gradi di libertà decade come una legge di potenza: $$p(r) \sim |r|^{-(\nu+1)} \quad \text{per } |r| \to \infty$$ Questo è il segno distintivo delle code pesanti. Il meccanismo è trasparente: un rendimento estremo \(|r_{n+1}| \gg 0\) può sempre essere spiegato da un valore grande di \(\sigma^2,\) e la posteriori su \(\sigma^2\) assegna probabilità positiva a tutti i valori — non solo alla stima puntuale.
In termini di curtosi, per \(\nu > 4:\) $$\text{Kurt}[t_\nu] = \frac{6}{\nu - 4} > 0$$ Con pochi dati (\(\nu\) piccolo) la curtosi è elevata; cresce all'infinito per \(\nu \to 4\) e scompare per \(\nu \to \infty.\)
Questo ha conseguenze dirette in risk management: un modello gaussiano con \(\hat{\sigma}^2\) ignora sistematicamente l'incertezza parametrica, sottostimando la probabilità di eventi estremi. La predittiva bayesiana la incorpora automaticamente attraverso i gradi di libertà \(\nu = 2\alpha + n,\) che quantificano esattamente quanta informazione abbiamo su \(\sigma^2.\)

La seguente simulazione è divisa in tre moduli, accessibili attraverso tre pulsanti.

• Volatilità bayesiana
  Il prior sulla varianza è una distribuzione \(\text{IG}(α_0, β_0),\) scelta naturale perché è coniugata alla likelihood gaussiana dei rendimenti. Dopo aver osservato \(n\) rendimenti con somma dei quadrati \(Σr²,\) il posterior, ottenuto considerando la likelihood gaussiana dei rendimenti, è ancora \(\text{IG}(α_n, β_n)\) con: \[α_n = α_0 + n/2. \quad β_n = β_0 + Σr²/2\] Di conseguenza
  • la distribuzione predittiva sui rendimenti futuri è una \(t\) di Student, mistura di distribuzioni normali con varianza incerta, con \(2α_n\) gradi di libertà — code più pesanti, non per ipotesi ma per propagazione dell'incertezza sul parametro σ;
  • si può leggere direttamente la banda di credibilità sulla volatilità stessa, cosa impossibile con la stima classica.
  Nello "Scenario stress" il prior rimane invariato, ma i dati di mercato turbolento spingono il posterior verso valori di σ più alti. La banda di credibilità si allarga anche perché l'Inverse-Gamma con dati eterogenei è più dispersa.
• Value at Risk con incertezza parametrica
  Il VaR classico al 5% risponde a: "quale perdita viene superata solo nel 5% dei giorni?" — ma tratta σ come nota, sostituendola con la stima storica. Questo sottostima il rischio reale quando i dati sono pochi.
  L'approccio bayesiano campiona molte volte σ² dal posterior Inverse-Gamma, calcola il VaR sotto ciascuna realizzazione e ne produce una distribuzione. Il VaR bayesiano è la media di questa distribuzione — sistematicamente più conservativo del VaR classico con pochi dati, e convergente ad esso quando i dati abbondano. Il grafico di convergenza (seconda chart) mostra esattamente questo: con 20 giorni di storia il gap è grande, con 500 i due coincidono. La banda viola è l'incertezza bayesiana — ciò che il VaR classico dichiara zero ma non è.
• Regime switching
  Il modello più ricco dei tre. Si assume che il mercato possa trovarsi in due regimi — calmo (σ bassa) o turbolento (σ alta) — e si aggiorna la credenza sul regime dopo ogni rendimento osservato, usando Bayes in forma sequenziale: \[p(\text{calmo} | r_t) ∝ p(r_t| \text{calmo}) · p(\text{calmo} | r_1\dots r_{t-1})\] La likelihood ratio \(\log (LR) = \log \frac{p(r|\text{calmo})}{p(r|\text{turbolento})}\) misura regime calmo, se \(\log (LR) > 0,\) o crisi, se \(\log (LR) < 0.\)
  Il grafico a barre mostra, osservazione per osservazione, in verde un dato compatibile con regime calmo, rosso quando segnala stress.
  In "Simula crisi" i primi 20 rendimenti sono tranquilli, poi il mercato entra in stress. Si osserva come la probabilità del regime turbolento decolli in pochi giorni , non all'improvviso ma con un aggiornamento sequenziale che riflette onestamente l'evidenza accumulata.