Introduzione

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Thomas Bayes, nato probabilmente intorno al 1701 a Londra, ministro presbiteriano, eletto alla Royal Society nel 1742 forse per un trattato pubblicato nel 1736 in difesa del calcolo newtoniano, morto nel 1761, lasciò tra le sue carte un saggio incompiuto intitolato An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances che l'amico Richard Price trovò e, riconosciutone il valore, inviò alla Royal Society. Pubblicato sulle Philosophical Transactions nel 1763, dovette trascorrere ancora qualche decennio prima che Pierre-Simon Laplace ne capisse la portata generale e la usasse nella sua opera di rifondazione della probabilità.

Il problema che Bayes si poneva era specifico e insolito per l'epoca: non "quale proporzione di palline rosse c'è in un'urna?" ma inversamente "dato che ho estratto \(n\) palline rosse su \(m\) tentativi, cosa posso inferire sulla proporzione sconosciuta?". Era, in termini moderni, il problema dell'inferenza del parametro dai dati.
La sua soluzione era ingegnosa ma formulata in modo goffo, attraverso un esperimento mentale geometrico con una tavola da biliardo e una boccia lanciata sul tavolo che si fermava in una posizione ignota, con un modo fisico e concreto di pensare alla probabilità di un evento la cui causa è sconosciuta. Bayes stesso era così poco sicuro del suo risultato da non averlo mai pubblicato in vita.

Pierre-Simon Laplace trasformò in uno strumento generale il contributo dato da Bayes su un problema specifico.
Nel Mémoire sur la probabilité des causes par les événements (1774), Laplace riprese l’idea di Bayes, la riformulò in modo più chiaro, la estese ai casi continui, introdusse la forma generale del teorema, sviluppò il concetto di “probabilità inversa”, applicò il metodo a problemi astronomici e statistici: la probabilità di errori nelle misure astronomiche, il movimento dei pianeti, la mortalità maschile e femminile a Parigi. La sua Théorie analytique des probabilités del 1812 è il vero fondamento della probabilità bayesiana classica.
Laplace fu il primo a usare il principio nella forma che oggi riconosciamo come aggiornamento bayesiano: si parte da una serie di ipotesi a priori (prior) spesso con uguale probabilità in assenza di informazione, si moltiplicano le verosimiglianze (likelihood) delle osservazioni, e si ottiene un aggiornamento delle ipotesi a posteriori (posterior). Chiamò questo approccio "probabilità delle cause" — la probabilità inversa rispetto alla probabilità degli effetti.

Dopo Laplace, il metodo cadde relativamente in disuso nel XIX secolo. L'ascesa della statistica frequentista — con Francis Galton, Karl Pearson e poi Ronald Fisher — spinse l'inferenza bayesiana ai margini.
La riscoperta avvenne nel XX secolo per opera di figure come Harold Jeffreys, che negli anni trenta propose una versione oggettivista del bayesianesimo con prior non informativi, come Bruno de Finetti, che costruì le fondamenta soggettiviste della probabilità come coerenza delle scommesse, e come Leonard Savage, che negli anni cinquanta formalizzò la teoria della decisione bayesiana.

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