Trading

Nell'impostazione bayesiana sulla base del principio:
anziché parametri fissi, si stimano distribuzioni sui parametri; si aggiornano poi queste distribuzioni man mano che arrivano nuovi prezzi,
il modo di fare trading cambia completamente:

• gestisce l’incertezza in modo naturale;
• evita overfitting;
• permette di incorporare “view” soggettive;
• consente di adattarsi ai cambiamenti di regime;
• fornisce probabilità, non stime puntuali
• è robusto quando i dati sono pochi o rumorosi.

I filoni principali sono i seguenti.

• Bayesian Trend-Following (modelli di stato nascosto) per cui il trend è trattato come una variabile latente.
  È uno dei metodi più robusti per trend-following e tipicamente:
  • il prezzo segue un processo con drift \(\mu_t\);
  • \(\mu_t\) è sconosciuto e cambia lentamente nel tempo;
  • si assume un prior su \(\mu_t\);
  • si aggiorna con Bayes (spesso tramite filtro di Kalman, filtro ottimo per rumori e disturbi agenti su sistemi gaussiani a media nulla);
  • si dimensiona la posizione in proporzione alla probabilità che il trend sia positivo.
  Riferimenti classici:
  • Harrison & Kreps, Martingales and Arbitrage in Multi-period Securities Markets (1979)
  • Kim & Nelson, State-Space Models with Regime Switching (1999)
  • Cartea & Jaimungal, Algorithmic and High-Frequency Trading (2016)
• Bayesian Change-Point Detection, per identificare i momenti esatti in cui le proprietà statistiche di una serie temporale come rendimenti, volatilità, correlazioni ma anche regime di mercato cambiano bruscamente.
  Ad esempio:
  • regime 1: mercato laterale, quando manca una direzione dominante e, spesso, la volatilità è moderata,
  • regime 2: mercato trendante, quando il prezzo ha una direzione prevalente, rialzista o ribassista,
  • regime 3: volatilità alta (bearish).
  Dopo aver calcolato mediante Bayes \(p(\text{regime } i \mid \text{ultimi dati}),\) la strategia aumenta l’esposizione quando la probabilità del regime favorevole è alta e la riduce quando la probabilità del regime sfavorevole cresce.
  Riferimenti:
  • Barry & Hartigan (1993) A Bayesian Analysis for Change Point Problems
  • Fearnhead (2006) Exact and Efficient Bayesian Inference for Multiple Changepoint problems
  • Adams & MacKay (2007) Bayesian Online Change Point Detection
• Bayesian Portfolio Allocation (Black–Litterman e varianti), per combinare le “view” sul mercato con la distribuzione implicita nei prezzi.
  Il modello Black–Litterman è esplicitamente bayesiano: \[ \text{Posterior} = \text{Prior (mercato)} + \text{View (investitore)} \] È uno dei modelli più usati al mondo per asset allocation.
  Riferimenti:
  • Black & Litterman, Global Portfolio Optimization (1992)
  • Meucci (2005–2010) A Fully Bayesian Approach to Portfolio Construction
• Bayesian Kelly / Bayesian Betting la cui idea consiste in:
  • essendo ignoti il “drift” o l’edge (differenza positiva tra il rendimento atteso della tua strategia e quello che otterresti senza alcuna informazione, cioè random; nei modelli bayesiani l’edge è quasi sempre 𝜇 cioè il drift del processo dei rendimenti),
  • si mette un prior su di esso,
  • si aggiorna con Bayes,
  • si dimensiona la posizione in proporzione all’edge atteso.
  Il risultato è una versione robusta del Kelly Criterion: \[ f^* = \frac{E[\mu \mid \text{dati}]}{\sigma^2} \] dove \(f^* \) è la frazione di capitale disponibile investito che massimizza il tasso di crescita geometrico atteso e \(E[\mu]\) è la media posterior del rendimento atteso.
  Riferimenti:
  • MacLean, Thorp & Ziemba (2011) The Kelly Capital Growth Investment Criterion:Theory and Practice
  • Cover & Thomas (1991) Elements of Information Theory

Una strategia bayesiana concreta, derivata dalla letteratura, in una versione pulita, didattica e coerente con i modelli accademici è la seguente.

1. Modello del rendimento
   Assumere che i rendimenti giornalieri siano: \[ R_t \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) \] dove \(\mu\) = drift (edge), \(\sigma\) = volatilità
2. Prior su \(\mu\) \[ \mu \sim \mathcal{N}(\mu_0, \tau_0^2) \]
3. Aggiornamento Bayesiano dopo \(n\) osservazioni
   \[ \mu \mid R_{1:n} \sim \mathcal{N}(\mu_n, \tau_n^2) \] con formule chiuse (derivabili facilmente).
4. Probabilità che l’edge sia positivo \[ p(\mu > 0 \mid \text{dati}) \]
5. Regola di trading
   Esempio:
   • se \(p(\mu > 0) > 0.8\) si ritiene che il prezzo di mercato salirà (long),
   • se \(p(\mu < 0) > 0.8\) si ritiene che il prezzo di mercato scenderà (short),
   • altrimenti invariato (flat)
6. Dimensionamento posizione proporzionale alla media posterior: \[ \text{size} \propto \frac{\mu_n}{\sigma^2} \]

Possiamo valutare una strategia bayesiana Long/Flat su mercato simulato