Concezioni
Prima di affrontare il teorema di Bayes vale la pena riflettere sul concetto di probabilità dato che le interpretazioni principali sono radicalmente diverse tra loro, non solo tecnicamente ma filosoficamente.
- Possiamo dire impostazione combinatoria o classica quella secondo cui la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero di eventi che lo rappresentano diviso il numero dei casi possibili. L'uscita del 7 nel lancio di due dadi ha probabilità data da 6/36 visto che 7=1+6,6+1,2+5,5+2,3+4,4+3. Occorre presupporre la possibilità di enumerare tutti i casi possibili tra i quali distinguere quelli che realizzano l'evento in questione.
- Secondo l'impostazione frequentista, la probabilità di un evento è la sua frequenza relativa al limite dopo infinite osservazioni, ad esempio il numero teste relativo al numero di lanci di una moneta converge a \(\frac{1}{2}.\) La probabilità è dunque legata a quello che accade nel lungo periodo, non una misura della nostra ignoranza né una propensione della moneta. È inoltre una valutazione oggettiva: due osservatori diversi arriverebbero alla stessa misura.
Tuttavia si basa sulla possibilità di ripetere una serie infinite di prove identiche, che non è data se cerchiamo la probabilità che un certo paziente sopravviva a una specifica operazione o che una certa centrale nucleare abbia un incidente nei prossimi vent'anni. La frequenza di eventi simili nel passato è un'informazione utile, ma non è la probabilità dell'evento singolo nell'impostazione strettamente frequentista. - Secondo l'interpretazione soggettivista di Frank Ramsey, nel 1926, e Bruno de Finetti, negli anni trenta, la probabilità è un grado di credenza, una proprietà delle menti e non del mondo. Dire "la probabilità di pioggia domani è 0,3" significa semplicemente: questo è il mio grado di credenza nella proposizione "pioverà domani", espresso su una scala da 0 a 1.
Un grado di credenza si misura con le scommesse: se sono disposto a scommettere 30 per vincerne 70 se piove, e sono anche disposto a accettare la scommessa di 30 per pagarne 70, allora il mio grado di credenza è 30%.
De Finetti aggiunse un vincolo fondamentale: le credenze devono essere coerenti. Se le mie scommesse sono incoerenti — se qualcuno può costruire un sistema di scommesse che mi fa perdere con certezza, indipendentemente dall'esito — (Dutch book) allora non sto ragionando razionalmente. La coerenza, dimostrava de Finetti, equivale al rispetto degli assiomi della probabilità.
Il soggettivismo risolve il problema degli eventi singoli rendendo possibile attribuire un grado di credenza a qualsiasi proposizione ben formata, incluse quelle irripetibili. Tuttavia apre un'altra questione: se due agenti razionali partono da gradi di credenza diversi, entrambi coerenti con le prove, chi ha ragione? Il soggettivismo risponde: tutti e due, la probabilità non è unica ma dipende dall'agente. Per molti questo è inaccettabile, in ambito scientifico si cerca un consenso intersoggettivo. - Karl Popper, negli anni cinquanta, propose un'ulteriore interpretazione della probabilità come propensione fisica. Le probabilità non sono nelle menti né nelle frequenze ma nel mondo, come disposizioni reali dei sistemi fisici a produrre certi risultati.
Un dado non truccato ha una propensione di \(\frac{1}{6}\) a mostrare il quattro non perché lo abbiamo lanciato molte volte (frequentismo) nè perché crediamo che accadrà (soggettivismo) ma perché la sua struttura fisica e le leggi della meccanica gli conferiscono quella tendenza intrinseca.
Il propensionismo è un'impostazione ancor più naturale in fisica quantistica, dove la probabilità di decadimento radioattivo di un atomo non è una frequenza (l'atomo decade una volta sola) né una credenza (è indipendente dagli osservatori), è invece una propensione fisica fondamentale dell'atomo.
Il problema è la misurabilità: come si distingue empiricamente una propensione di 0,3 da una di 0,31? In pratica, si ricade sulle frequenze. Cosa siano poi esattamente queste "tendenze causali" è una questione che rimane oscura.
Già da come sono formulate le frasi relative a probabilità possiamo arguire quale interpretazione è implicita.
- "C'è il 40% di probabilità che domani piova". Quasi certamente si sta usando un grado di credenza soggettivo, aggiornato su modelli meteorologici. Non ci sono serie infinite di "domani identici".
- "Nella vita, la probabilità di avere un incidente d'auto è circa 1 su 3". — Si sta usando frequenze su popolazioni. È un'affermazione su serie statistiche di eventi comparabili.
- "C'è il 10% di probabilità che su questo paziente questo farmaco fallisca". — Ambigua. Un frequentista direbbe: è la frequenza di fallimento in pazienti simili. Un soggettivista: è il grado di credenza del medico. Un propensionista: è una disposizione del sistema biologico del paziente.
La formula di Bayes è matematicamente neutra: vale in tutte le interpretazioni purché le probabilità rispettino gli assiomi di Kolmogorov. A seconda dell'interpretazione, tuttavia, il suo utilizzo può cambiare radicalmente.
- Un frequentista può applicare Bayes solo quando le probabilità coinvolte sono frequenze ben definite — tipicamente in problemi come i test diagnostici, dove prior e likelihood hanno un senso frequentista chiaro.
- Un soggettivista bayesiano usa la formula come strumento di aggiornamento razionale delle credenze: il prior è la mia credenza iniziale, la likelihood è quanto i dati sarebbero probabili sotto diverse ipotesi, il posterior è la mia credenza aggiornata. Qui Bayes diventa una norma epistemica: come ragionare per essere coerenti.
- Un propensionista può usare Bayes per aggiornare le stime delle propensioni fisiche dei sistemi, ma la filosofia sottostante è diversa: non si tratta di credenze soggettive, ma di inferenze sulle strutture causali del mondo.
Riferimenti sito/bibliografici
- Interpretations of Probability, by Alan Hájek