Bayes e il problema dell'induzione

Nel 1739 David Hume pubblicò il Trattato sulla natura umana sollevando una questione che nessuno ha ancora risolto del tutto: perché dovremmo credere che il futuro assomigli al passato? Il sole è sorto ogni mattina per miliardi di anni ma questo non prova che sorgerà domani.
Ogni ragionamento induttivo, da quello scientifico al più banale della vita quotidiana, sembra appoggiarsi su un'assunzione che non si può giustificare senza circolarità.
Hume pensava che l’induzione dipendesse dalla cosiddetta ‘uniformità della natura’, cioè che la natura funzionerà per sempre come ha fatto finora. Credere in questo principio è un atto di fede che non ha giustificazione razionale; purtuttavia, è il massimo cui possiamo aspirare e ci dobbiamo accontentare.
Il bayesianesimo non risolve la questione ma la trasforma in qualcosa di più gestibile e più onesto.

L'induzione è quel tipo di ragionamento che va dal particolare al generale, dall'osservato all'inosservato: vedo mille cigni bianchi e concludo che tutti i cigni sono bianchi, conduco cento esperimenti in cui un farmaco riduce la febbre e concludo che il farmaco funziona.
I ragionamenti induttivi non sono logicamente validi: da "tutti gli A che ho sinora osservato sono B" non segue necessariamente che "tutti gli A sono B", dalla premessa "ho osservato X in n casi" non segue necessariamente "X accadrà anche nell'n+1-esimo caso".

“Fin dal primo giorno un tacchino osservò che, nell’allevamento in cui era stato portato, gli veniva dato il cibo alle 9 del mattino. E da buon induttivista non fu precipitoso nel trarre conclusioni dalle sue osservazioni e ne eseguì altre in una vasta gamma di circostanze: di mercoledì e di giovedì, nei giorni caldi e nei giorni freddi, sia che piovesse sia che splendesse il sole. Così arricchiva ogni giorno il suo elenco di una proposizione osservativa in condizioni più disparate. Finché la sua coscienza induttivista non fu soddisfatta ed elaborò un’inferenza induttiva come questa: “Mi danno il cibo alle 9 del mattino”. Questa concezione si rivelò incontestabilmente falsa alla vigilia di Natale quando, invece di venir nutrito, fu sgozzato”
-Che cos’è questa scienza?, Bertrand Russell

Il bayesianesimo non risolve il problema di Hume ma lo inquadra in modo diverso e, secondo molti, più fruttuoso.
L'aggiornamento bayesiano non afferma mai che una legge universale è vera. Afferma solo che la probabilità di certe ipotesi cresce o decresce alla luce delle evidenze. Questo è un passo indietro rispetto all'induzione classica — che pretendeva di ricavare certezze — ma è un passo onesto.
Se all'ipotesi \(H=\) "il sole sorgerà domani" assegniamo a a priori una credibilità \(p(H),\) poi a ogni alba osservata è un'evidenza \(E\) con alta verosimiglianza sotto \(H\) e bassa verosimiglianza sotto la sua negazione \(¬H,\) la credibilità \(p(H/E)\) a posteriori cresce, corroborarando l'ipotesi \(H\) che assumerà tale cresciuta credibilità. Dopo miliardi di osservazioni \(p(H|E)\) sarà estremamente vicino a 1 anche se non è mai esattamente 1: esisterà sempre una credenza residua, per quanto piccola, che l'ipotesi sia falsa.
Questa asimmetria è importante: il bayesianesimo non trasforma l'induzione in deduzione, consente solo di valutare con coerenza le prove che rendono un'ipotesi più o meno credibile senza mai consentire tuttavia la certezza assoluta

Nassim Taleb ha reso popolare l'espressione "cigno nero" per eventi rari e imprevisti che ridisegnano le aspettative. Il problema del cigno nero è, in fondo, una versione del problema di Hume: nessuna quantità di cigni bianchi osservati prova che non esistano cigni neri; ma quante osservazioni bastano per assegnargli una probabilità trascurabile?
Il bayesianesimo risponde con una distinzione importante: l'asimmetria tra conferma e falsificazione.
Osservare mille cigni bianchi aumenta la credenza in "tutti i cigni sono bianchi" ma lentamente e senza mai portarla a 1. Osservare un singolo cigno nero la abbatte in modo devastante e immediato: \[p(\text{tutti i cigni sono bianchi} | \text{ho visto un cigno nero}) = 0,\] senza appello.
Questa asimmetria è matematicamente inevitabile. Un'ipotesi universale del tipo "tutti gli X sono Y" ha verosimiglianza zero di fronte a qualsiasi controesempio — e dunque il suo posterior crolla a zero immediatamente. Ipotesi probabilistiche come "la maggior parte degli X è Y" o "gli X sono Y con probabilità 95%" sono più robuste: un controesempio le danneggia ma non le distrugge.
Popper aveva intuito questa asimmetria quando propose la falsificabilità come criterio di demarcazione scientifica. Il bayesianesimo la formalizza: le ipotesi universali sono fragili non perché siano "poco scientifiche", ma perché la loro struttura logica le rende vulnerabili a qualsiasi singola osservazione contraria.

Uno dei modi in cui il bayesianesimo affronta il problema humiano è inquadrare il principio di uniformità della natura — l'idea che il futuro assomigli al passato — non come un assioma giustificato, ma come una credenza a priori molto forte che si è guadagnato la sua credibilità attraverso l'esperienza.
Non stiamo assumendo dogmaticamente che la natura sia uniforme. Stiamo dicendo: abbiamo un'enorme quantità di evidenza che i processi naturali tendono ad essere stabili su scale temporali moderate, e questo giustifica un grande credito, mai la certezza assoluta, che attribuiamo a ipotesi che proiettano nel futuro le regolarità osservate nel passato. Un credito che deve comunque essere aggiornato sulla base delle nuove osservazioni.
Pur non risolvendo il problema di Hume, questo approccio sposta il dibattito su un terreno più produttivo. Invece di chiedersi se "l'induzione è giustificata?", si chiede "quanto dovrebbe essere alto il prior per l'uniformità della natura, e quanto robustamente è sostenuto dalle prove?". La seconda domanda è scientificamente trattabile; la prima forse no.

Un'ultima complicazione merita attenzione. La forma standard della condizionalizzazione bayesiana assume che le nuove prove siano certe: quando osservo il cigno, so con certezza che è bianco. Ma nella realtà, l'evidenza è spesso incerta: ho visto qualcosa che potrebbe essere un cigno bianco o uno sfondo chiaro. Come si aggiorna in questo caso?
Richard Jeffrey propose negli anni sessanta una generalizzazione: la condizionalizzazione di Jeffrey. Invece di aggiornare come se \(E\) fosse certa, si aggiorna proporzionalmente alla credenza in \(E\) stessa. Se la mia evidenza mi porta a credere per il 70% che l'uccello fosse bianco, il mio posterior è una combinazione pesata dei posterior sotto "bianco" e "non bianco", con pesi 0,7 e 0,3.
Questa generalizzazione è importante perché avvicina il modello alla realtà epistemica degli agenti: quasi nessuna evidenza è perfettamente certa. Osservare, misurare, leggere una testimonianza — tutto porta incertezza sull'evidenza stessa, non solo sull'ipotesi. Il framework bayesiano è abbastanza flessibile da incorporare questa complicazione senza perdere la sua struttura di base.
Il problema di Hume rimane aperto ma il bayesianesimo ha trasformato una domanda paralizzante — "l'induzione è mai giustificata?" — in un programma di ricerca produttivo: costruire prior ragionevoli, aggiornare onestamente e riconoscere che la certezza non è l'obiettivo. La conoscenza, in questa prospettiva, non è mai una destinazione raggiunta — è un processo in corso di revisione permanente.

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