Conferma, falsificabilità e rasoio bayesiano

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La conferma delle ipotesi, la falsificabilità di Popper, e il rasoio di Occam, concetti assai dibattuti nella filosofia della scienza, trovano nell'impostazione bayesiana una formulazione precisa e, in alcuni casi, sorprendentemente unificata. Non si tratta di traduzioni perfette: il bayesianesimo chiarisce alcune cose, ne complica altre, e rivela tensioni che i termini informali nascondevano.

Il paradosso della conferma

Carl Gustav Hempel, negli anni quaranta del Novecento, sollevò il problema noto come "paradosso dei corvi". L'affermazione "tutti i corvi sono neri" è logicamente equivalente a "tutto ciò che non è nero non è un corvo". Per la prima affermazione, la conferma dovrebbe venire verificando che i corvi osservati siano neri. Per la seconda, invece, la conferma dovrebbe venire verificando che oggetti non neri — come una scarpa rossa o un limone giallo — non sono corvi. Paradossale è che una scarpa rossa contribuisca alla conferma dell'ipotesi che tutti i corvi siano neri.
Nell'impostazione bayesiana una scarpa rossa è una conferma solo infinitesimale di "tutti i corvi sono neri", così piccola da essere praticamente irrilevante. Il motivo è quantitativo: poiché gli oggetti non neri sono vastissima maggioranza nell'universo degli oggetti osservabili, il rapporto di verosimiglianza tra le due ipotesi ("tutti i corvi sono neri" vs "alcuni corvi non sono neri") per l'osservazione di una scarpa rossa è appena maggiore di 1 — quasi identica sotto le due ipotesi. Un corvo nero, invece, ha una rapporto di verosimiglianza molto più alta, perché è selettivamente molto più probabile sotto l'ipotesi "tutti i corvi sono neri" che sotto la sua negazione.
La conferma, dunque, è una questione di grado e il rapporto di verosimiglianza misura esattamente quanto un'osservazione sposta la bilancia tra ipotesi rivali: un corvo bianco è caso limite con rapporto di verosimiglianza zero, fa crollare immediatamente a zero il posterior dell'ipotesi "tutti i corvi sono neri"; una scarpa rossa ha rapporto di verosimiglianza appena sopra 1, matematicamente fornisce una conferma infinitesimale; un corvo nero fornisce una conferma sostanziale ma non assoluta.

Falsificabilità

Karl Popper propose negli anni trenta che il criterio per distinguere la scienza dalla pseudoscienza non fosse la verificabilità ma la falsificabilità: una teoria scientifica deve fare previsioni che potrebbero, in linea di principio, risultare false. L'astrologia non è scienza non perché le sue previsioni siano false, ma perché non sono abbastanza specifiche da poter essere falsificate. La relatività generale è scienza perché prevede la deflessione della luce — e quella previsione avrebbe potuto non verificarsi.
Il bayesianesimo accoglie l'intuizione di Popper ma la riformula in termini di gradi. Una teoria è più falsificabile nella misura in cui assegna alta verosimiglianza a poche osservazioni e bassa verosimiglianza a molte. Una teoria che predice quasi tutto — che è compatibile con qualsiasi dato — ha una verosimiglianza quasi costante su tutto lo spazio delle osservazioni possibili, e dunque un rapporto di verosimiglianza vicino a 1 rispetto a quasi qualunque ipotesi alternativa. Non viene mai confermata né smentita in modo netto: scivola via dall'evidenza.
Ma c'è un punto dove il bayesianesimo e Popper divergono profondamente. Per Popper, la falsificazione è binaria: una teoria è falsificata o non lo è, e un singolo controesempio basta. Per il bayesiano, la falsificazione è anch'essa graduata. Un'osservazione che contraddice una previsione riduce il posterior dell'ipotesi — ma di quanto dipende da quante ipotesi alternative ci sono, da quanto erano credibili, e da quanto l'osservazione era inattesa sotto ciascuna di esse.
Questa differenza ha conseguenze pratiche importanti. Nella storia della scienza, le teorie non vengono abbandonate al primo controesempio — gli scienziati introducono ipotesi ausiliarie, rivalutano la qualità delle misure, cercano spiegazioni alternative. Imre Lakatos chiamò questo comportamento "programmi di ricerca": il "nucleo duro" di una teoria è protetto da un "cintura protettiva" di ipotesi ausiliarie che vengono aggiustate quando arrivano anomalie. Il bayesianesimo lo formalizza perché razionale: se il prior del nucleo duro è molto alto e le ipotesi ausiliarie hanno prior ragionevoli, un singolo dato anomalo potrebbe abbassare il posterior della cintura protettiva senza intaccare il nucleo.

Il rasoio di Occam come prior

Il rasoio di Occam, attribuito a Guglielmo di Ockham nel XIV secolo, è uno dei principi metodologici più invocati e meno giustificati della scienza: Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem, a parità di capacità esplicativa si preferisce l'ipotesi più semplice. Lo si giustifica intuitivamente attribuendo bellezza o eleganza alla semplicità o nella convinzione che la natura sia parsimoniosa.
Il bayesianesimo offre una giustificazone più soddisfacente. L'argomento si chiama talvolta "rasoio bayesiano" ed è dovuto principalmente a Harold Jeffreys e, in forma più recente, a David MacKay. Il punto di partenza è che le ipotesi più complesse sono, in un senso preciso, meno specifiche: una teoria con più parametri liberi può adattarsi a più configurazioni di dati possibili. E se una teoria è compatibile con molti più dati, allora la sua verosimiglianza per qualsiasi dataset specifico è mediamente più bassa di quella di una teoria più semplice e più specifica.
Supponiamo di confrontare due teorie: \(H₁\) sostiene che la relazione tra due variabili è lineare (un parametro libero), \(H₂\) sostiene che è un polinomio di grado cinque (sei parametri liberi). \(H₂\) può adattarsi a quasi qualsiasi dataset — ma proprio per questo, se osserviamo una relazione lineare pulita, la verosimiglianza di \(H₁\) è molto più alta di quella di \(H₂.\) \(H₂\) "spreca" la sua probabilità su mille configurazioni di dati diverse che non si sono verificate.
In termini di verosimiglianza integrata — quella che il bayesianesimo usa per confrontare modelli — la complessità è automaticamente penalizzata senza bisogno di alcun aggiustamento artificiale. Il rasoio di Occam emerge come conseguenza della struttura della probabilità, non come principio estetico.
Questo ha un limite importante: funziona solo quando le ipotesi sono sufficientemente specificate da assegnare verosimiglianza definite agli osservabili. Se \(H₂\) ha parametri liberi non specificati, bisogna integrare sulla loro distribuzione prior — e la scelta di quel prior sui parametri influenza il risultato. Il rasoio bayesiano non è gratuito: richiede che si sia onesti su quanta libertà ogni teoria si concede.

Demarcazione senza linee nette

Uno dei risultati più onesti dell'impostazione bayesiana è che dissolve la speranza di trovare un confine netto tra scienza e pseudoscienza. Non esiste una proprietà booleana "falsificabile/non falsificabile" che separi le buone teorie dalle cattive. Esistono gradi di testabilità, gradi di conferma, gradi di rilevanza evidenziale.
L'astrologia non è condannata perché logicamente infalsificabile — alcune sue previsioni sono abbastanza specifiche da essere testate. È condannata perché i test che sono stati fatti hanno dato rapporto di verosimiglianza molto vicini a 1: i dati sono compatibili tanto con l'astrologia quanto con la sua negazione. Non impara nulla dall'evidenza, non perché l'evidenza non esista, ma perché la sua struttura predittiva è così vaga da rendere quasi tutto compatibile.
La linea di demarcazione bayesiana è quindi più sfumata ma anche più ricca: una teoria è scientifica nella misura in cui fa previsioni abbastanza specifiche da avere verosimiglianza molto diverse sotto ipotesi alternative, e nella misura in cui aggiorna in modo sensibile al variare dell'evidenza. Una teoria che rimane sempre plausibile qualunque cosa accada non è falsa —, semplicemente non produce sufficiente conoscenza.