Coefficiente Beta
Il coefficiente Beta (β) rappresenta il rischio sistematico di un titolo, cioè la sua sensibilità ai movimenti del mercato. È stato introdotto con il Capital Asset Pricing Model (CAPM) nel Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk di William Sharpe (1964) - premio Nobel nel 1990 - e nel The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets e Security Prices, Risk, and Maximal Gains From Diversification di John Lintner (1965), un modello utilizzato per determinare un tasso di rendimento richiesto teoricamente appropriato per un'attività, al fine di prendere decisioni sull'aggiunta di attività a un portafoglio ben diversificato, tenendo conto conto della sensibilità dell'attività al rischio sistematico o rischio di mercato rappresentato da β nonché dal rendimento atteso del mercato e dal rendimento atteso di un'attività teorica priva di rischio.
CAPM offre previsioni potenti e intuitive su come misurare il rischio e la relazione tra rendimento atteso e rischio.
A differenza della volatilità, che misura quanto un titolo oscilla in assoluto, il Beta misura quanto un titolo si muove rispetto al mercato.
In altre parole, il Beta risponde alla domanda:
"Se il mercato sale o scende dell'1%, di quanto ci si può aspettare che salga o scenda questo titolo?"
Tenendo conto che ogni investimento è soggetto a due tipi di rischio:
- rischio sistematico, che dipende dall'andamento generale del mercato e non può essere eliminato con la diversificazione,
- rischio specifico (o idiosincratico), che dipende dalla singola azienda e può essere ridotto costruendo un portafoglio ben diversificato,
Si ha \[\beta = \frac{Cov(R_i,R_m)}{Var(R_m)}.\] Secondo il CAPM \[\mathbb E(R_i)=R_f+β_i(\mathbb E(R_m)−R_f)\] dove \(R_f\) è il rendimento privo di rischio e \(\mathbb E(R_m)\) è il rendimento atteso del mercato.
| Beta | Significato |
|---|---|
| β > 1 | Il titolo è più volatile del mercato (aggressive) |
| β = 1 | Il titolo si muove come il mercato |
| β < 1 | Il titolo è meno volatile del mercato (defensive) |
| β < 0 | Movimento inverso al mercato (raro) |
Ad esempio possiamo determinare il beta di un asset azionario rispetto all'indice di mercato FTSEMIB.
import yfinance as yf
import numpy as np
tickers = [ "ENI.MI", "FTSEMIB.MI"]
data = yf.download(
tickers,
start="2018-01-01",
auto_adjust=True,
progress=False
)["Close"]
returns = data.pct_change(fill_method=None).dropna()
stock = returns["ENI.MI"]
market = returns["FTSEMIB.MI"]
cov = np.cov(stock, market)[0,1]
var = np.var(market, ddof=1)
print(f"β = {cov/var:.3f}")
β = 0.855
Si può ottenere lo stesso risultato utilizzando la regressione lineare.
from sklearn.linear_model import LinearRegression
import matplotlib.pyplot as plt
X = market.values.reshape(-1,1)
y = stock.values
model = LinearRegression()
model.fit(X,y)
α, β = model.intercept_, model.coef_[0]
plt.figure(figsize=(8,6))
plt.scatter(market, stock, s=8, alpha=0.5)
x=np.linspace( market.min(), market.max(), 100)
y = α + β * x
plt.plot( x, y, color="red", linewidth=2)
plt.xlabel("FTSE MIB")
plt.ylabel("ENI")
plt.title(f"Beta mediante regressione R_i={α:.2}+{β:.2}R_m")
plt.grid()
plt.show()
Sebbene il CAPM sia uno strumento utile, per valutare i beni capitali è possibile utilizzare metodi alternativi, ciascuno con i suoi punti di forza e i suoi limiti; non esiste un approccio unico.
Ad esempio Fischer Black (1972) ha sviluppato una versione del CAPM, detta Black CAPM o CAPM zero-beta, che non presuppone l'esistenza di un asset privo di rischio sostituendolo con il rendimento di un "portafoglio zero-beta", un portafoglio che non ha alcuna correlazione con il mercato.
Il modello a tre fattori sviluppato da Eugene Fama e Kenneth French, espande il CAPM aggiungendo due ulteriori fattori all'analisi: la dimensione dell'azienda e il valore del suo patrimonio.
Si basa quindi su tre fattori principali:
- il rendimento del mercato azionario nel suo complesso, cioè di un portafoglio diversificato di azioni, spesso rappresentato dall'indice di mercato come il S&P 500 negli Stati Uniti;
- il "fattore di valore", che tiene conto delle performance delle azioni di società considerate "value" rispetto a quelle considerate "growth". Le azioni value sono generalmente associate a aziende con prezzi relativamente bassi in rapporto ai loro fondamentali, come il rapporto prezzo/utili (P/E ratio) o il rapporto prezzo/valore contabile (P/B ratio). Le azioni growth, al contrario, sono associate a aziende con prospettive di crescita più elevate e spesso sono caratterizzate da valutazioni più elevate. Il value premium o i rendimenti delle società con un elevato rapporto \(\frac{\frac{patrimonio\; netto\; totale \;dell'azienda}{numero \; azioni \;in \;circolazione}}{valore\;di \;mercato\;dell'azione}\), il "book-to-market ratio" (B/M ratio), rispetto alle società con un basso B/M ratio e i rendimenti degli asset come variabile dipendente nel modello.
- il "fattore di capitalizzazione di mercato", che tiene conto delle performance delle azioni delle aziende di diverse dimensioni di capitalizzazione. Le azioni delle grandi capitalizzazioni rappresentano aziende con capitalizzazioni di mercato elevate, mentre le azioni delle piccole capitalizzazioni rappresentano aziende più piccole. Il modello di Fama-French considera la differenza di rendimento tra queste due categorie di aziende. I rendimenti di un portafoglio di piccole società (teoricamente in media le piccole aziende hanno rendimenti più elevati rispetto alle grandi aziende).
Questi fattori sono calcolati con combinazioni di portafogli composti da titoli classificati (classifica BtM, classifica Cap) e dati storici di mercato disponibili. È possibile accedere ai valori storici sulla pagina web di Kenneth French.
import pandas_datareader.data as web
web.DataReader("F-F_Research_Data_Factors", "famafrench")
{0: Mkt-RF SMB HML RF
Date
2021-07 1.34 -3.93 -1.79 0.00
2021-08 2.94 -0.32 -0.23 0.00
2021-09 -4.40 0.66 5.12 0.00
2021-10 6.63 -2.26 -0.53 0.00
2021-11 -1.58 -1.31 -0.37 0.00
2021-12 3.23 -1.63 3.25 0.01
2022-01 -6.16 -5.93 12.86 0.00
2022-02 -2.28 2.16 3.06 0.00
2022-03 3.08 -1.55 -1.90 0.00
2022-04 -9.41 -1.35 6.18 0.00
2022-05 -0.34 -1.84 8.44 0.03
2022-06 -8.40 2.07 -6.00 0.06
2022-07 9.57 2.84 -4.15 0.08
2022-08 -3.77 1.41 0.18 0.19
2022-09 -9.34 -0.76 0.03 0.19
2022-10 7.85 0.01 7.97 0.23
2022-11 4.65 -3.57 1.48 0.29
2022-12 -6.38 -0.76 1.34 0.33
2023-01 6.61 5.01 -3.94 0.35
2023-02 -2.57 1.05 -0.80 0.34
2023-03 2.48 -5.48 -9.05 0.36
2023-04 0.62 -3.37 -0.12 0.35
2023-05 0.34 1.60 -7.79 0.36
2023-06 6.46 1.49 -0.13 0.40
2023-07 3.21 2.05 4.06 0.45
2023-08 -2.36 -3.13 -1.15 0.45
2023-09 -5.23 -2.50 1.50 0.43
2023-10 -3.15 -3.87 0.20 0.47
2023-11 8.88 -0.10 1.67 0.44
2023-12 4.85 6.28 4.89 0.43
2024-01 0.73 -5.05 -2.38 0.47
2024-02 5.07 -0.26 -3.43 0.42
2024-03 2.84 -2.50 4.16 0.43
2024-04 -4.65 -2.38 -0.45 0.47
2024-05 4.33 0.53 -1.31 0.44
2024-06 2.80 -3.00 -3.36 0.41
2024-07 1.22 6.81 5.57 0.45
2024-08 1.60 -3.49 -1.13 0.48
2024-09 1.72 -0.13 -2.73 0.40
2024-10 -1.00 -0.95 0.91 0.39
2024-11 6.49 4.49 0.38 0.40
2024-12 -3.17 -2.70 -2.97 0.37
2025-01 2.80 -2.00 1.76 0.37
2025-02 -2.44 -5.77 4.84 0.33
2025-03 -6.39 -2.72 2.87 0.34
2025-04 -0.84 -0.57 -3.29 0.35
2025-05 6.06 0.61 -2.81 0.38
2025-06 4.86 0.71 -1.43 0.34
2025-07 1.98 0.27 -1.28 0.34
2025-08 1.84 3.81 4.44 0.38
2025-09 3.39 -1.91 -0.92 0.33
2025-10 1.96 -0.83 -2.75 0.37
2025-11 -0.13 0.52 3.62 0.30
2025-12 -0.36 -1.02 2.36 0.34
2026-01 1.03 2.13 3.82 0.30
2026-02 -1.17 0.23 2.71 0.28
2026-03 -5.18 0.42 3.41 0.29
2026-04 9.95 0.11 -1.17 0.29
2026-05 4.90 -1.69 -2.15 0.31,
1: Mkt-RF SMB HML RF
Date
2021 23.87 -3.78 25.61 0.04
2022 -21.32 -7.01 25.68 1.42
2023 21.75 -3.53 -13.97 4.95
2024 19.76 -11.31 -8.44 5.26
2025 13.30 -11.01 9.23 4.25,
'DESCR': 'F-F Research Data Factors\n-------------------------\n\nThis file was created using the 202605 CRSP database. The 1-month TBill rate data until 202405 are from Ibbotson Associates. Starting from 202406, the 1-month TBill rate is from ICE BofA US 1-Month Treasury Bill Index. The annual TBill return is compounded from the monthly T-bill rates from January to December. Copyright 2026 Eugene F. Fama and Kenneth R. French\n\n 0 : (59 rows x 4 cols)\n 1 : Annual Factors: January-December (5 rows x 4 cols)'}
Una volta definiti SMB e HML, i corrispondenti coefficienti \(\beta_s,\; \beta_h\) sono determinati mediante regressioni lineari e possono assumere valori negativi così come valori positivi.
import pandas as pd
import numpy as np
import yfinance as yf
import pandas_datareader.data as web
import statsmodels.api as sm
from pandas.tseries import offsets
ff_factors = pd.DataFrame(web.DataReader("F-F_Research_Data_Factors", "famafrench")[0])
ff_factors.index = ff_factors.index.to_timestamp(how='end').normalize()
start_download = ff_factors.index[0]
end_download = ff_factors.index[-1] + offsets.DateOffset(months=1)
ticker = "ENI.MI"
stock_raw = yf.download(ticker,start=start_download,end=end_download,interval='1mo')
stock_monthly_returns = stock_raw["Close"].pct_change() * 100 # in percentuale
stock_monthly_returns.index = (pd.to_datetime(stock_monthly_returns.index) + offsets.MonthEnd(0)).normalize()
# allinea i rendimenti del titolo con gli indici di ff_factors
# reindex per allineare e fillna per gestire i NaN
ff_factors[ticker] = stock_monthly_returns.reindex(ff_factors.index)
# Rimuovi le righe con NaN (dove il titolo non ha dati)
ff_factors_clean = ff_factors.dropna(subset=[ticker])
# Rendimenti in eccesso: y = rendimento_titolo - risk_free
excess_returns = ff_factors_clean[ticker] - ff_factors_clean["RF"]
# Variabili indipendenti
X = ff_factors_clean[["Mkt-RF", "SMB", "HML"]]
X = sm.add_constant(X) # Aggiunge l'intercetta (alpha)
y = excess_returns
model = sm.OLS(y, X)
results = model.fit()
#print(results.summary())
print(f"\n R_f (mensile): {results.params["const"]:.6f} ")
print(f" β (Beta Mkt-RF): {results.params["Mkt-RF"]:.3f}")
print(f" β_s (Beta SMB): {results.params["SMB"]:.3f}")
print(f" β_h (Beta HML): {results.params["HML"]:.3f}")
print(f" R²: {results.rsquared:.3f}")
R_f (mensile): 0.818951
β (Beta Mkt-RF): 0.398
β_s (Beta SMB): -0.242
β_h (Beta HML): 1.151
R²: 0.353
Riferimenti sito/bibliografici
- Capital Asset Prices: A Theory Of Market Equilibrium Under Conditions Of Risk, William F. Sharpe, 1964
- The Capital Asset Pricing Model: Theory and Evidence, by Eugene F. Fama and Kenneth R. French