Downside Risk

Il Downside Risk nasce da una critica fondamentale alla teoria di Markowitz secondo cui il rischio coincide con la varianza o la deviazione standard dei rendimenti trattando allo stesso modo gli scostamenti positivi e quelli negativi dalla media.
Per un investitore, infatti, un rendimento positivo non è normalmente percepito come un rischio, ovvero il rischio è associato soprattutto ai rendimenti inferiori a un livello ritenuto accettabile.

Arthur D. Roy introdusse il principio "Safety First" (la sicurezza prima di tutto) in "Safety First and the Holding of Assets", del 1952, teoria del portafoglio precedente e parallela all'analisi media-varianza di Markowitz, avviando formalmente lo studio della gestione del rischio di ribasso.
Il principio cardine sostiene che gli investitori debbano selezionare portafogli che minimizzino la probabilità che i rendimenti scendano al di sotto di un livello minimo accettabile specificato, spesso definito rendimento di "disastro" o soglia. Questo approccio sposta l'attenzione dalla massimizzazione dell'utilità attesa alla gestione esplicita del rischio di perdite significative, risultando particolarmente rilevante per gli investitori avversi al rischio, i fondi pensione e le compagnie assicurative che privilegiano la preservazione del capitale.

Prefissato un rendimento minimo accettabile \(T\), detto Target Return o Minimum Acceptable Return (MAR), che può essere 0%, il tasso privo di rischio, l'inflazione, il rendimento di un BTP oppure il rendimento richiesto dall'investitore, la Downside Deviation è definita come \[DD(T)=\sqrt{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \min(R_i-T,0)^2 }\] dove \(\min(R_i-T,0)\) vale zero se il rendimento supera il target.

import yfinance as yf import numpy as np df = yf.download( "FTSEMIB.MI", start="2010-01-01", auto_adjust=True, progress=False ) returns = df.Close.pct_change().dropna() def downside_deviation(returns, target=0): return np.sqrt(np.mean(np.minimum(returns-target,0)**2)) print("Downside Deviation :", downside_deviation(returns))
Downside Deviation: 0.01064097300637601
Una proprietà interessante è che se i rendimenti seguono una distribuzione normale \(\mathcal N (\mu,\sigma)\) allora \(DD(\mu)=\frac{\sigma}{\sqrt 2}.\)
La Downside Variance è naturalmente \(DV=DD^2.\)

Un'altra convenzione, molto usata nella pratica finanziaria, divide, anziché per \(n\), solo per il numero di osservazioni negative.

def downside_deviation_bis(returns, target=0): downside = np.minimum(returns-target,0) negative = downside[downside < 0] return np.sqrt(np.mean(negative**2)) print("Downside Deviation modificata:", downside_deviation_bis(returns))
Downside Deviation modificata: 0.015567804312149392
Al variare del rendimento minimo accettabile si differenziano nel modo seguente.
import matplotlib.pyplot as plt target = np.linspace(-0.02,0.06,20) risk1 = [downside_deviation(returns,t) for t in target] risk2 = [downside_deviation_bis(returns,t) for t in target] plt.figure(figsize=(8,5)) plt.plot(target,np.array(risk1), label="sul totale di osservazioni") plt.plot(target,np.array(risk2), label="sulle osservazioni negative") plt.xlabel("target") plt.ylabel("DD") plt.title("Downside Deviation al variare del target") plt.grid(True) plt.legend() plt.show()

In genere, ignorando completamente gli scostamenti positivi, la Downside Deviation risulta inferiore alla volatilità. La differenza tra le due misure è particolarmente evidente nei mercati con forte asimmetria positiva (grandi rialzi e perdite relativamente contenute): la volatilità aumenta per effetto sia dei rialzi sia dei ribassi, mentre il Downside Risk cresce solo quando aumentano la frequenza o l'entità delle perdite.
Poiché il Downside Risk valuta quanto sono grandi, in media, le deviazioni dei rendimenti che non raggiungono il rendimento minimo che considero accettabile, è una misura molto apprezzata nella gestione patrimoniale e nella valutazione dei fondi d'investimento, riflette meglio la percezione del rischio da parte degli investitori rispetto alla semplice volatilità.

Il Sortino Ratio, indicatore di rischio-rendimento sviluppato da Frank A. Sortino che valuta l'efficienza di un investimento misurando il rendimento in eccesso rispetto a un un rendimento minimo accettabile, è basato sul Downside Risk \[\text{Sortino}=\frac{E(R)−T}{DD} \] dove il numeratore rappresenta il rendimento in eccesso rispetto al target mentre il denominatore misura soltanto il rischio "cattivo".
È analogo allo Sharpe Ratio, ma sostituisce la deviazione standard con la Downside Deviation. Insieme alla Downside Deviation, costituisce uno degli strumenti più utilizzati quando l'obiettivo è confrontare investimenti che possono avere volatilità simili ma distribuzioni delle perdite molto diverse.

Il Downside Risk appartiene a una famiglia più ampia di misure chiamate Lower Partial Moments (LPM) la cui definizione generale è \[LPM_n(T)=\mathbb E [\max(T-R,0)^n] \] dove \(n\) determina la sensibilità alle perdite con valori tipici:

def LPM(returns, target=0,n=2): downside = np.maximum(target-returns,0) return np.mean(downside**n)**(1/n) if n>0 else np.mean(downside**0) for n in range(4): print(f"LPM_ {n} :", LPM(returns,0,n))
LPM_ 0 : 1.0 LPM_ 1 : 0.004987570488776818 LPM_ 2 : 0.010640380708480932 LPM_ 3 : 0.017034680333013023
Riferimenti sito/bibliografici