Expected Shortfall
L'Expected Shortfall (ES), chiamato anche Conditional Value at Risk (CVaR) o Average Value at Risk (AVaR), nasce per superare il principale limite del Value at Risk (VaR), emerso chiaramente dopo la crisi finanziaria del 2007-2008, di non descrivere adeguatamente il rischio di eventi estremi.
Se il VaR risponde alla domanda "Qual è la perdita massima che non verrà superata con una certa probabilità?", l'ES risponde invece a quella più interessante:
"Quando la perdita supera il VaR, quanto si perde mediamente?"
Descrive quindi la gravità media delle perdite più estreme.
Intuitivamente l'Expected Shortfall è la media delle perdite appartenenti alla coda sinistra della distribuzione: individuato il VaR, si selezionano tutte le osservazioni peggiori del VaR e se ne calcola la media.
Più precisamente, indicando con \(q_α\) il quantile della distribuzione dei rendimenti, l'ES è il valore atteso dei rendimenti condizionato al fatto che essi appartengano alla coda peggiore della distribuzione:
\[ES_\alpha=-\mathbb E(R|R\le q_α).\]
import yfinance as yf
import numpy as np
df = yf.download(
"FTSEMIB.MI",
start="2010-01-01",
auto_adjust=True,
progress=False
)
returns = df["Close"].pct_change().dropna()
def VaR(returns, confidence=0.95):
return -np.percentile(returns,(1-confidence)*100)
def ES(returns, confidence=0.95):
tail = returns[returns < np.percentile(returns, (1-confidence)*100)]
return -np.mean(tail)
confidence = 0.95
print()
print(f"VaR {confidence:.0%} = {VaR(returns,confidence):.2%}")
print(f"ES {confidence:.0%} = {ES(returns,confidence):.2%}")
capitale=100000
print(f"{capitale*ES(returns,0.95):.2f} di perdite (ES95) su {capitale} euro")
VaR 95% = 2.37%
ES 95% = 3.52%
3517.28 di perdite (ES95) su 100000 euro
import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(figsize=(10,5))
plt.hist(returns, bins=80, density=True, alpha=0.6)
plt.axvline(-VaR(returns,confidence), color="orange", linewidth=2, label="VaR")
plt.axvline(-ES(returns,confidence), color="red", linewidth=2, label="ES")
plt.legend()
plt.grid()
plt.title("Distribuzione dei rendimenti FTSE MIB")
plt.show()
Gli accordi internazionali di Basilea III e, soprattutto, il successivo Fundamental Review of the Trading Book (FRTB) hanno introdotto l'Expected Shortfall come misura di riferimento per il rischio di mercato principalmente per le ragioni seguenti:
- tiene conto della gravità delle perdite estreme, non solo della loro soglia;
- utilizza tutte le osservazioni nella coda sinistra, invece di fermarsi al quantile come fa il VaR
- misura coerentemente il rischio (coherent risk measure), soddisfacendo proprietà matematiche importanti come la subadditività e ciò significa che, in condizioni generali, la diversificazione non può aumentare il rischio misurato dall'ES, mentre il VaR può violare questa proprietà.
- Expected shortfall, From Wikipedia, the free encyclopedia
- Expected Shortfall: a natural coherent alternative to Value at Risk, by Carlo Acerbi, Dirk Tasche