Legge dei grandi numeri

La legge debole dei grandi numeri fu enunciata dal matematico svizzero Jakob Bernoulli (1654-1705) nel 1680 ma pubblicata nel 1713 nell'Ars Conjectandi dal nipote Nicolaus Bernoulli:

Per una v.a. binomiale $X = X_1 +X_2 + ...+X_n$, dove le $X_i$ sono variabili di Bernoulli, cioè a due soli valori 1=successo e 0=insuccesso, tra loro indipendenti, che verificano la stessa legge di probabilità:\[\begin{cases}p(X_i= 1) = p\\p(X_i = 0) = q = 1 -p\end{cases}\quad con\;\;i= 1,\; 2,\; ...,\; n\] così che media e varianza di $X$ sono \[ \begin{cases}\mu=n\cdot p \\ \sigma^2=n\cdot p\cdot q\end{cases}\] si ha:

\[p(\left(\left| \frac{X}{n}-p\right|\lt \epsilon \right)\ge 1-\frac{p(1-p)}{n\epsilon^2} \;\;\;\;\;\;\;\; \forall \epsilon\gt 0\]

Detto altrimenti:

più si ripete uno stesso evento casuale, più è probabile che la frequenza relativa dei successi sia prossima alla probabilità del successo di quell'evento..

Questa legge, che si ricava dal teorema di Bienaymé-Chebychef , si dice debole poiché la convergenza delle frequenze alla probabilità non è nel senso numerico; infatti \[\lim_{n \rightarrow \infty}p\left(\left|\frac{X}{n} - p\right|\gt \eta \right)=0\] ovvero \[\lim_{n \rightarrow \infty}p\left(\frac{X}{n} \ne p\right)=0\] e ciò significa che l'evento "$\frac{X}{n} \ne p$" diventa quasi impossibile all'aumentare di $n$: si parla di convergenza in probabilità.

Conviene osservare che questa legge consente di fare previsioni sulle frequenze basandosi sulla conoscenza della probabilità, non l'inverso. Non è una dimostrazione della legge empirica del caso, la legge di natura che ci autorizza a vedere la probabilità di un evento come limite della frequenza in un numero infinito di esperimenti, ma può solo giustificarne l'intuizione. Ad esempio questa legge non garantisce che lanciando un dado non truccato, fissato un grado di approssimazione, da un certo numero grande di lanci in poi la frequenza con cui esce una faccia approssimerà sempre così bene la probabilità di uscita di quella faccia; dice solo che è sempre più bassa la probabilità di ottenere frequenze sensibilmente diverse da tale probabilità.

Si può enunciare anche una legge forte dei grandi numeri, dovuta a F.P. Cantelli nel 1916:

Se $f_n$ sono le frequenze relative di successo in $n$ ripetizioni per un dato evento che ha probabilità p di verificarsi, allora per ogni $\eta > 0$ è nulla la probabilità che si verifichino simultaneamente infiniti eventi \["|f_n - p|\ge\eta"\]